Построение математической модели по результатам

Эксперимента

Цель работы

Целью работы является изучение методики построения математической модели по результатам натурного исследования.

Основные понятия

На практике в производственных или лабораторных условиях встречаются процессы, характер протекания которых детерминированным образом зависит от определенных величин

Переменные х_1,.х_2,…..,.х_п обычно называют входными контролируемыми или независимыми переменными, и их возможные значения принадлежат некоторой области n -мерного пространства. Выходная переменная y в дальнейшем будет называться зависимой переменной, целевой величиной или выходом процесса, даже если она не обозначает буквально выход продукта. В общем случае можно сказать, что между независимыми переменными и выходом процесса y существует функциональная взаимосвязь

где

— вектор значений независимых переменных. Зависимость на практике часто бывает не известна, и тогда она находится путем обработки экспериментальных данных.

Так как всякий эксперимент связан с появлением случайных ошибок, то при построении математических моделей на основе экспериментальных данных необходимо использовать методы математической статистики.

Наиболее часто при решении этой задачи применяют метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов позволяет построить оптимальную, в определенном смысле оценку моментов распределения ошибки эксперимента, а также решить вопрос о том, является ли полученная модель адекватной (т. е. соответствует ли она действительности).

Пусть требуется на основе экспериментальных данных построить модель некоторого процесса. При этом прежде всего необходимо составить себе какое-то представление о структуре этой модели. Из физических соображений можно, например, предположить, что взаимосвязь между у и х - линейна:

(2.1)

При этом а_i являются неизвестными параметрами процесса, оценки которых требуется найти путем обработки экспериментальных данных. В случае если характер связи описывается нелинейной квадратичной функцией, имеем

Здесь число неизвестных параметров определяется:

Обычно коэффициенты нелинейной квадратичной модели нумеруются не по порядку, а так, что коэффициент при функции x_ix_j обозначается через а_ij

Модели полиномиального вида имеют большое значение в связи с тем, что с их помощью любая аналитическая функция может быть описана как угодно точно. Однако с увеличением степени полинома весьма существенно увеличивается число оцениваемых параметров модели и соответственно возрастают затраты на эксперимент. Так, если степень полинома есть т, то число неизвестных параметров находится по формуле:

В дальнейшем будут использованы модели вида

Где a ― вектор параметров модели,

Примем, что модель (3.7) линейна относительно коэффициентов а_i, т.е.

(2.2)

При этом f_i (х) — известные функции, являющиеся компонентами вектора.

Используя векторные обозначения можно записать

В случае линейной или квадратичной модели выражения для компонент f (х ) будут иметь вид:

и

Эксперимент проводится в многомерном пространстве при условии N>k + 1где N ― число точек эксперимента, k ― число искомых параметров модели. Вектор переменных имеет вид

По результатам эксперимента вычисляется матрица F

(2.3)

и матрица C

(2.4)

Матрица C называется дисперсионной матрицей.

Значения параметров модели a_i находятся как решение системы линейных уравнений

(2.5)

где Y вектор результатов эксперимента

Оценка дисперсии ошибок наблюдений вычисляется с помощью остаточной суммы квадратов

с числом степеней свободы

по формуле

Коэффициент a_i - считается значимо отличающимся от нуля, если

где t _кр—критическое значение распределения Стьюдента для заданного уровня значимости a и j степеней свободы (если оценка s_i² имеет j степеней свободы); t _крнаходится с помощью нижеприведенной таблицы из условия

j 1- a

0,99 0,95 0,90 0,80 0,50 0,20

63,657 12,706 6,314 3,078 0,727 0,325

9,925 4,303 2.920 1,886 9,617 0,289

5,841 3,182 2,353 1,638 0,584 0,277

4,604 2,776 2,132 1,533 0,569 0,271

4,032 2,571 2,015 1,476 0,559 0,367

3,707 2,447 1,943 1,440 0,553 0,265

3,499 2,365 1,895 1,415 0,549 0,263

3,355 2,306 1,860 1,397 0,546 0,262

3,250 2,262 1,833 1,383 0,543 0,261

3,169 2,228 1,812 1,372 0,542 0,260

3,106 2,201 1,796 1,363 0,540 0,260

3,055 2,179 1,782 1,356 0,539 0,259

3,012 2,160 1,771 1,350 0,538 0,259

2,977 2,145 1,761 1,345 0,537 0,258

2,947 2,131 1,753 1,341 0,536 0,258

2,921 2,120 1,746 1,337 0,535 0,258

2,898 2,110 1,740 1,333 0,534 0,257

2,878 2,101 1,734 1,330 0,534 0,257

2,861 2,093 1,729 1,328 0,533 0,257

2,845 2,086 1,725 1,325 0,533 0,257

2,831 2,080 1,721 1,323 0,532 0,257

2,819 2,074 1,717 1,321 0,532 0,256

2,807 2,069 1,714 1,319 0,532 0,256

2,797 2,064 1,711 1,318 0,531 0,256

2,787 2,060 1,708 1,316 0,531 0,256

2,779 2,056 1,706 1.315 0,531 0,256

2,771 2,052 1,703 1,314 0,531 0,256

2,763 2,048 1,701 1,313 0,530 0,256

2,756 2,045 1,699 1,311 0,530 0,256

2,750 2,042 1,697 1,310 0,530 0,256

2,704 2,021 1,684 1,303 0,529 0,255

2,660 2,000 1,671 1,296 0,527 0,254

2,617 1,980 1,658 1,289 0,526 0,254

2,576 1,960 1,645 1,282 0,524 0,253

3. Порядок выполнения лабораторной работы.

По заданию преподавателя выбрать вариант таблицы содержащей результаты многомерного эксперимента. Ввести предполагаемый вид аппроксимирующего полинома на листе «Вид модели». Рекомендуется проводить исследование и построение модели начиная с полинома первой степени (линейная модель).

На вкладке «Макросы» вызвать программу нахождения параметров модели. По виду модели программно формируется система нормальных уравнений и затем решается одним из методов исследованных в предыдущей лабораторной работе.

На листе «Параметры модели» приводятся значения параметров и оценка средне квадратичной и максимальной погрешности модели выбранного вида. По формулам оценки значимости параметров модели исключить из модели незначимые члены полинома и затем ввести в модель (полином) члены более высоких порядков для снижения погрешности моделирования.

Повторить вышеприведенные операции до получения необходимой точности модели.

Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие результаты исследования:

- виды полиномиальных моделей;

- значения погрешностей моделей;

- оценки значимости параметров модели;

- оценки вычислительных затрат.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4