Основные положения получения математической модели

Поведение большинства технических подсистем мож­но охарактеризовать с помощью фазовых переменных. Фазовые переменные образуют вектор неизвестных в математической модели технической системы. Так, в электрической подсистеме фазовыми переменными являются токи и напряжения, в механической поступательной подсистеме — силы и скорости.

Математическую модель системы получают объеди­нением компонентных и топологических уравнений.

Законы функционирования элемента подсистемы (в дальнейшем — просто элемента) задаются компонентны­ми уравнениями, связывающими, как правило, разнород­ные фазовые переменные, относящиеся к данному эле­менту, т. е. компонентные уравнения связывают перемен­ные типа потока с переменными типа потенциала.

Компонентные уравнения могут быть линейными или нелинейными, алгебраическими, обыкновенными диффе­ренциальными или интегральными. Эти уравнения по­лучаются на основе знаний о конкретной предметной об­ласти. Для каждого элемента моделируемого техническо­го объекта должны быть получены компонентные урав­нения. Это может оказаться длительной и трудоемкой процедурой. Но эта процедура выполняется однократно с одновременным накоплением библиотеки подпрограмм моделей элементов. Для большинства элементов такие компонент­ные уравнения уже получены в прикладных дисциплинах. Ими можно воспользоваться при моделировании в САПР.

Связь между однородными фазовыми переменными, относящимися к разным элементам подсистемы, задает­ся топологическими уравнениями, получаемыми на осно­ве сведений о структуре подсистемы. Для формирования топологических уравнений разработаны формальные ме­тоды. Очевидно, что процедура получения то­пологических уравнений выполняется для каждого моде­лируемого объекта, так как структуры объектов различ­ны.

В большинстве технических систем можно выделить три типа простейших элементов:

A. Элемент типа R — элемент диссипации энергии. На
этом элементе, как правило, происходит преобразование
энергии в тепловую.

Б. Элемент типа С.

B. Элемент типа L.

На элементах типа С и L происходит накопление потенциальной или кинетической энергии.

Сочетанием этих простейших элементов, а также источников фазовых переменных может быть получена математическая модель технического объекта практически любой сложности.

Рассмотрим основные физические подсистемы с точ­ки зрения аналогий компонентных уравнений.

Для каждой физической подсистемы характерны свои законы, однако для простейших элементов форма выра­жающих их уравнений оказывается одинаковой.

Электрическая подсистема. Фазовыми переменными электрической подсистемы являются токи I и напряже­ния U. Запишем уравнения трех типов простейших эле­ментов:

A. Уравнение сопротивления (закон Ома) I=U/R,
где R — электрическое сопротивление.

Б. Уравнение емкости I=C(dU/dt), где С — электри­ческая емкость.

B. Уравнение индуктивности U=L(dI/dt), где L —
электрическая индуктивность.

Тепловая подсистема. Фазовые переменные этой под­системы — тепловые потоки Ф и температура Т — соот­ветственно аналоги токов и напряжений. Запишем урав­нения трех типов простейших элементов:

А. Из соответствующих уравнений законов Фурье и Ньютона для теплопроводности и конвекции y = l (Т₁ - Т₂)/ l и

y =a_конв (Т ₁ - Т ₂), где y — плотность теплового потока;

l — коэффициент теплопроводности; a_конв — ко­эффициент теплообмена через конвекцию; Т ₁и Т ₂ — температура на границах рассматриваемого участка длиной I для индуктивного теплообмена и Т ₁— температура те­ла; Т ₂— температура окружающей среды для конвектив­ного теплообмена.

Для получения теплового потока умножим обе части уравнений на площадь S поперечного сечения выделен­ного участка, т. е.

Ф =(l S / l) T или Ф = T/R _конд; Ф =S a _конв T или Ф = Т/R _конд, где

R _конд =l/(lS) — кондукционное сопротивление; R _конв =1/(Sa _конв)

— конвекцион­ное сопротивление.

Б. Уравнение теплоемкости тела C_T=dQ/dT, где dQ —изменение количества теплоты в теле при измене­нии температуры на dT.

Так как изменение количества теплоты в единицу вре­мени есть тепловой поток, то dQ/dt = Ф = C_T(dTldt), где С_Т=ст — аналог электрической емкости; с — удель­ная теплоемкость; т — масса тела.

В. В том случае, когда фазовыми переменными явля­ются тепловой поток и температура, компонентное урав­нение, соответствующее тепловой индуктивности, не име­ет физического смысла.

Топологические уравнения в большинстве физических подсистем базируются на урав­нениях равновесия и уравнениях непрерывности.

Рассмотрим аналогии топологических уравнений в различных физических подсистемах по отношению к элек­трической подсистеме.

Электрическая подсистема. Связи между отдельны­ми элементами этой подсистемы устанавливаются на ос­нове законов Кирхгофа.

Уравнение первого закона Кирхгофа устанавливает равенство нулю суммы токов в узлах схемы, т.е.

(уравнение равновесия),

 

где I_k — ток к-й ветви; р — множество номеров ветвей, инцидентных рассматриваемому узлу.

Из уравнения второго закона Кирхгофа видно, что сумма падений напряжений на элементах схе­мы при их обходе по

произвольному контуру равна ну­лю, т. е. (уравнение непрерывности),

где j —номер ветви; U_j — падение напряжения

на j -й ветви схе­мы, входящей в контур; q здесь и далее — множество но­меров ветвей, входящих в рассматриваемый контур.

Тепловая подсистема. Аналогом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение равновесия в узлах подсистемы, т. е.

 

— сумма тепловых потоков в узлах подсистемы равна нулю, где Ф_j — тепловой поток, подтекающий или оттекающий от узла.

Аналогом уравнения второго закона Кирхгофа является уравнение непрерывности, т. е. — сумма разностей температур при обходе по замкнутому контуру равна нулю, где T_j — разность тем­ператур на участке, входящем в контур.

Таким образом, во всех рассмотренных подсистемах можно установить аналогии переменных типа потока и типа потенциала. Эти аналогии и аналогии на уровне простейших элементов сведены в табл.

Подсистема	Фазовые переменные	Компоненты
типа потока	типа потен­циала	типа R	типа С	типа L
Электрическая	Ток	Напряжение	Сопротивление	Емкость	Индуктивность
Тепловая	Тепловой поток	Температура	Тепловое сопротивление	Тепло емкость	—

 

Аналогия рассматривалась по отношению к электрической подсистеме, но это не принципиально; в качестве исходной могла быть выбрана любая другая подсистема (кроме тепловой).