Применение интерполяционных формул для экстраполяции. Обратная интерполяция

Экстраполяция. Выше были приведены при­меры применения интерполяционных формул для отыска ­ ния значений функции, соответствующих промежуточным значениям аргумента, отсутствующим в таблице.

Эти же формулы могут быть использованы и для отыскания значений функции, соответствующих значе­ниям аргумента, находящимся вне пределов таблицы, т. е. для экстраполяции.

Применение интерполяционных формул для экстрапо­ляции ничем не отличается от рассмотренного в преды­дущих примерах. Единственным различием является то, что при интерполировании по первой формуле Ньютона значение t оказывается положительным, а при экстра­полировании— отрицательным. Для второй формулы Ньютона, наоборот, при интерполировании значение t отрицательно, а при экстраполяции — положительно.

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования вперед и экстраполирования назад, а вторая — для интерполиро­вания назад и экстраполирования вперед.

Следует отметить, что экстраполяция, вообще говоря, дает большие ошибки, нежели интерполяция, и пределы ее применения ограничены.

Обратная интерполяция. До сих пор были рассмотрены лишь задачи отыскания значений функции, соответствующих данным значениям аргумента, от­сутствующим в таблице. Между тем нередко приходится сталкиваться и с задачами иного характера: по таблице функции отыскать значение аргумента х, которому соот­ветствует данное значение функции, отсутствующее в таблице. Так поставленную задачу называют задачей обратной интерполяции.

Задачу обратной интерполяции можно легко обра­тить, считая значения функции, наоборот, значения­ми аргумента. Однако так как разности функции не постоянны, то обратная интерполяция приводит к необ­ходимости интерполировать в таблице, значения аргу­мента в которой не являются равноотстоящими. По этой причине для обратной интерполяции применяется обыч­но интерполяционная формула Лагранжа или интер­поляционная схема Эйткина.

Задание на лабораторную работу.

Построить интерполяционные полиномы по заданным узлам, используя различные виды полиномов. Оценить точность полученной модели в зависимости от степени полинома.

Оценить сложность (число умножений) решения задачи интерполяции для различных видов полиномов.

4. Порядок выполнения лабораторной работы.

Лабораторная работа выполняется по программе «Интерполяция» реализованной в среде VBA Microsoft Excel. После запуска программы в окно «Номер варианта» вводится соответствующий номер варианта задания. Индивидуальные задания на выполнение лабораторной работы приведены на листе 3.

Результат сформированного задания приведен на рис.1.1..

 

Рис. 1.1. Исходные данные

 

Для вычисления параметров многочлена степени n

В окно «порядок полинома» вводятся значения n последовательно от 1 до 11 и после нажатия на поле экрана кнопки «Вычислить» в таблицу «Значения параметров модели» выводятся соответствующие коэффициенты a_i. Пример таблицы приведен на рис. 1.2.

 

Рис 1.2 Результаты расчета параметров модели.

Расчет вычислительных затрат и оценки точности интерполяционной модели приведены в таблице 1,

 

Таблица 1.

а соответствующие графики на рис. 1.3

Рис. 1.3 Графики зависимости точности и затрат от порядка полинома

 

Рис. 1.4. Исходные данные с равноотстоящими узлами

 

Рис. 1.5. Результат расчета конечных разностей

Рис.1.6. Результат расчета коэффициентов полинома

Ньютона

 

Рис. 1.7. Результат оценки точности и затрат при использовании полинома Ньютона

 

Рис.1.8.Графики зависимости точности и затрат от порядка полинома

Форма и содержание отчета

Отчет является основным документом, в котором излагаются исчерпывающие сведения о выполненной работе.

Общими требованиями к отчету являются: четкость построения; логическая последовательность изложения материала убедительность аргументации; краткость и точность формулировок, исключающие возмож­ность субъективного и неоднозначного толкования; конкретность изложения результатов работы; доказательность выводов и обоснованность рекомендаций.

Отчет должен включать в указанной ниже последовательности:

титульный лист; список исполнителей; реферат; содержание оглавление); перечень сокращений, символов и специальных терминов с их определениями; основную часть; список литературы, в том числе перечень использованных материалов; приложения.

Основная часть отчета должна включать в себя:

1. Формулировку целей лабораторной работы. Обоснование необходимости использования интерполяционных моделей при решении задач анализа и проектирования информационно-управляющих автоматических систем.

2. Описание методов и программных реализаций приемов построения интерполяционных моделей.

3. Результаты построения интерполяционных моделей, оценки точности моделирования, зависимости затрат от вида модели и порядка используемого полинома, обоснование выбора вида и порядка полинома.

 

Лабораторная работа №2

 

Моделирование тепловой подсистемы

 

Цель работы

Целью работы является изучение принципов моделирования технических систем. В данной работе решаются задачи построения математической модели и проведение исследования на этой модели.