Характеристики случайных функций

Для случайных функций вводят простейшие основные характеристики, аналогичные числовым характеристикам случайных величин. Для случайных величин числовые характеристики представляют собой некоторые числа. Характеристики случайных функций в общем случае - функции.

Математическим ожиданием (средним по множеству или по ансамблю) случайной функции X(t) называется такая функция, значения которой при каждом данном значении аргумента t равна математическому ожиданию значений случайной функции х при этом t:

Таким образом, для нахождения случайной функции необходимо задать ее одномерный закон распределения. Математическое ожидание случайной функции представляет собой некоторую среднюю линию, около которой группируются и относительно которой колеблются все возможные реализации случайной функции. Это есть среднее значение, определенное на основании наблюдений над многими однотипными системами, находящимися при одинаковых условиях в одни и те же моменты времени. Эта величина зависит от момента времени t, для которого она определяется, и иногда называется статистическим средним.

Дисперсия случайной функции. Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция Dx(t), значения которой для каждого значения аргумента t совпадает со значением дисперсии соответствующего сечения случайной функции:

 

 

Эта функция характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно математического ожидания.

Для описания тесноты связи между значениями случайной функции в различные моменты времени t₁,t₂ служит корреляционная функция.

Корреляционная функция. Корреляционной функцией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция двух аргументов K_x(t₁,t₂), которая при каждой паре значений t₁ и t₂ равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной

Раскрыв символ математического ожидания, получим:

Положим t₁ = t₂, тогда

т.е. при равенстве аргументов корреляционная функция превращается в дисперсию случайной функции.

В качестве основных характеристик случайной функции достаточно рассматривать ее математическое ожидание и корреляционную функцию.

Поскольку корреляционный момент двух случайных величин X(t₁) и X(t₂) не зависит от порядка, в котором рассматриваются эти величины, то корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов:

Kx(t₁,t₂)= Kx(t₂,t₁).

Вероятностные характеристики, определенные как средние по множеству реализаций, характеризуют случайный процесс в целом. Различают еще характеристики, как средние по времени, которые характеризуют одну какую-либо реализацию случайного процесса.

Пусть X₁(t) - одна реализация процесса. Тогда ее среднее значение по времени будет равно:

Таким же образом можно определить и все другие вероятностные характеристики для одной реализации. Например, средний квадрат X₁(t) равен:

Дисперсия одной реализации случайного процесса равна: