Функция плотности вероятности двумерного случайного вектора

Рассмотрим систему двух случайных величин Х, Y. На плоскости X0Y выделим прямоугольник со сторонами Dx и Dy, примыкающий к точке с координатами (х,y) (рис.60). Вероятность попадания в этот прямоугольник равна:

P[x£X<(x+Dx), y£Y<(y+Dy)] = F(x+Dx, y+Dy)-F(x+Dx,y)-F(x,y+Dy)+F(x,y).

Рис.59 Рис.60

Разделим эту вероятность на площадь прямоугольника и перейдем к пределу при Dx ®0 и Dy ®0;

Если F(x,y) непрерывна и дифференцируема, то правая часть представляет собой вторую смешанную частную производную функции F(x,y) по x и по y:

Функция f(x,y) называется плотностью распределения (плотностью вероятности) системы случайных величин.

Для системы случайных величин элемент вероятности f(x,y) dxdy - вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами dx, dy, примыкающий к точке (x,y). Эта вероятность равна объему элементарного параллелепипеда, ограниченного сверху поверхностью f(x,y) и опирающегося на элементарный прямоугольник dxdy. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область D равна интегралу элементов вероятности по всей области D.

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный абсциссами Х₁, Х₂ и ординатами Y₁, Y₂ равна

Рассмотрим основные свойства плотности вероятности.

1. Плотность вероятности системы случайных величин - функция неотрицательная

f(x,y) ³0.

Это ясно из того, что плотность вероятности есть предел отношения двух неотрицательных величин: вероятности попадания в прямоугольник и площади прямоугольника.

2. Двойной интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности системы двух случайных величин равен единице:

3. Одномерные плотности вероятности по двумерной плотности можно определить с помощью следующих формул:

Зависимые и независимые случайные величины. При изучении системы случайных величин часто возникает необходимость выяснить характер взаимной зависимости этих величин.

Случайная величина Y называется независимой от случайной величины X, если закон распределения величины Y не зависит от того, какое значение приняла случайная величина Х. Зависимость величин всегда взаимная. Если величина Y не зависит от Х, то и величина Х не зависит от Y. Зависимость между случайными величинами можно охарактеризовать с помощью условных законов распределения.

Условным законом распределения величины Y, входящей в систему XY называется ее закон распределения при условии, что другая величина X приняла определенное значение. Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения, так и плотностью вероятности. Условная функция распределения случайной величины y обозначается F(y/x). Условная плотность вероятности - f(y/x).

Для независимых случайных величин f(x,y)=f(x)×f(y).