Прохождение стационарного случайного сигнала

Через линейную систему

 

Стационарная линейная система описывается дифференциальным уравнением вида

a₀Y⁽ⁿ⁾(t)+a₁Y^(n-1)(t)+... +a_nY(t)=b₀X^(m)(t)+... +b_mX(t) (8)
где X(t) - входной сигнал, Y(t) - выходной сигнал, a_o, a₁... a_n, b_o... b_m - постоянные коэффициенты. Применим операцию преобразования Лапласа к уравнению (8), приняв нулевые начальные условия:

(a_oPⁿ+a₁P^n-1+... +a_n)Y(P)=(b_oP^m+b₁P^m-1+... +b_m)X(P) (9)
где - изображения Лапласа функций Y(t) и X(t).

Отношение Y(P)/X(P)=K(P) называется передаточной функцией системы. Из (9) следует, что

(10)

При подстановке в передаточную функцию Р=jw получим комплексную передаточную функцию, представляющую собой отношение изображения Фурье выходного сигнала к изображению Фурье входного сигнала системы:

(11)
где

Действительно, для функции времени X(t), на которую накладываются ограничения X(t)=0 при t<0, X(t)<Me^{a t} при t>0, где М и a - некоторые положительные постоянные, можно найти изображение Лапласа по формуле

Для этой же функции изображение Фурье равно

Учитывая ограничения, можно сделать вывод, что если в изображение Лапласа некоторой функции времени вместо Р подставить jw, то получим изображение Фурье той же функции времени. Из уравнения (11) следует:

Y(jw)=K(jw)X(jw)

Возьмем модули левой и правой частей последнего уравнения, возведем их в квадрат, разделим на 2 Т и перейдем к пределу при Т ®¥:

Откуда следует:

или

Sy(w)=Sx(w)½K(jw)½². (12)

При известной передаточной функции системы K(P) и известной спектральной плотности Sх(w) стационарного случайного сигнала X(t), действующего на входе системы, по формуле (12) можно найти спектральную плотность стационарного случайного сигнала на выходе системы.

Дисперсия выходного сигнала равна

(13)
Подынтегральное выражение в формуле (13) имеет вид:

где А(jw) и В(jw) представляют собой полиномы от комплексной переменной jw. Обозначим наивысшую степень знаменателя через 2 n. Наивысшая степень числителя для реальных систем может быть не более 2 n -2. Для интегрирования по формуле (13) подынтегральное выражение представляют в следующей форме:

Откуда

Интегралы In для различных значений n приведены в справочниках и учебниках по теории автоматического управления.

Математическое ожидание m_y стационарного случайного сигнала у(t) на выходе линейной системы с передаточной функцией K(P) связано с математическим ожиданием m_х стационарного случайного сигнала Х(t) на входе системы следующей формулой:

m_y=K(0)m_x, где K(0)=K(P) при Р =0.

Литература

1. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1972.- 767 с.; ил.

2. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. - М.: Физматгиз, 1960 с.;ил.

[С. В. Х.1]