Тема 5.2 Средние величины в статистике

1. Понятие средней величины. Степенные средние.

Наиболее распространённой формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, является средняя величина.

Средняя величина – это величина,

 

Средняя величина даёт обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в целом определяется её финансовым положением. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции могут продаваться по более высокому или заниженному курсу.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

 

В экономических исследованиях и плановых расчётах применяются две категории средних:

- степенные средние;

- структурные средние.

 

К категории степенных средних относятся: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая.

К категории структурных средних относятся: мода и медиана (с ними мы познакомимся позже).

 

Средняя арифметическая

Наиболее распространённым видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическая простая. Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчёт осуществляется по несгруппированным данным. Обозначив индивидуальные значения признака через х , х , ….х , число индивидуальных величин – n, среднюю – х, а сумму - знаком , можно записать, что

Х =

Средняя арифметическая взвешенная. При расчёте средних величин отдельные значения определяемого признака могут повторяться, встречаться по нескольку раз. В подобных случаях расчёт средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам.

Если индивидуальные значения признака (варианты) обозначить х , х , ….х ,а числа, показывающие сколько раз повторяется варианта (частоты), - f , f , …., f , то средняя арифметическая взвешенная будет равна

 

Х =

Вычисление средней арифметической интервального ряда имеет некоторые особенности. Для того чтобы рассчитать среднюю арифметическую интервального ряда, надо сначала определить среднюю для каждого интервала, а затем – среднюю для всего ряда.

Средняя для каждого интервала определяется как полусумма верхней и нижней границ, т.е. по средней арифметической простой.

Средняя гармоническая

Средняя гармоническая, как и средняя арифметическая получила широкое применение в плановых расчётах. Выбор средней арифметической и средней гармонической определяется характером имеющейся в распоряжении исследователя информации.

Средняя гармоническая простая вычисляется по формуле:

 

Х=

Средняя гармоническая взвешенная вычисляется по формуле:

X=

Средняя квадратическая

В тех случаях, когда осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных функций, применяется средняя квадратическая. Так, средние диаметры колёс, труб, стволов, средние стороны квадратов и др. определяются при помощи средней квадратической.

Средняя квадратическая простая рассчитывается путём извлечения корня из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

 

X=

 

Средняя квадратическая взвешенная рассчитывается по формуле:

X= ,

где f – удельный вес -го варианта.

ЗАДАЧА 11: пять торговых центров фирмы имеют объём товарооборота за месяц, представленный в таблице 9.

 

Таблица 9

 

Экономический показатель	Торговый центр (i)
Товарооборот (млн. руб.), х

Необходимо определить средний месячный товарооборот в расчёте на один центр.

 

Для того, чтобы определить средний месячный товарооборот в расчёте на один центр, необходимо воспользоваться формулой средней арифметической простой (невзвешенной):

Х = . С учётом имеющихся данных получим: Х=

 

 

Ответ: – средний месячный товарооборот одного центра.

 

ЗАДАЧА 12: Определить среднюю заработную плату работников за апрель 2011 г.

Таблица 10 - Распределение работников по размеру заработной платы за апрель 2010 г

Заработная плата, руб.	Число рабочих, чел.
До 6800
6800-6900
6900-7000
7000-7100
7100-7200
7200 и более
Итого

 

Для определения средней заработной платы работников найдём середины интервалов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). С учётом этого середины интервалов будут следующими:

 

Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим среднюю заработную плату предприятия отрасли:

 

Х =

 

Ответ: – средняя заработная плата одного работника в апреле 2011 года.

 

ЗАДАЧА 13 - определить среднюю урожайность культуры по центрально-черноземному району.

 

Таблица 11 – Валовой сбор и урожайность подсолнечника по Центрально-Черноземному району (в хозяйствах всех категорий)

 

Область	Валовой сбор, тыс.т	Урожайность, ц/га
Белгородская		16,1
Воронежская		9,5
Курская	0,5	4,8
Липецкая		10,9
Тамбовская		7,0

 

Среднюю урожайность мы получим, поделив общий валовый сбор на общую посевную площадь, но посевная площадь нам не дана, её необходимо вычислить как отношение валового сбора подсолнечника к урожайности с га.

 

Используя среднюю гармоническую взвешенную, определим общий валовый сбор по областям:

 

Х=

 

 

Ответ: посевная площадь подсолнечника по Центрально-Чернозёмному району составляла 389,3 тыс. га, а средняя урожайность – 9,9 ц с одного гектара.

 

ЗАДАЧА 14 - пусть упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника фирмы, специализирующейся на торговле по почте. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 8 мин., второй – 14 мин. Каковы средние затраты на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?

 

На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. (8+14)/2=11 мин. Проверим обоснованность такового подхода на примере одного часа работы. За этот час первый работник обрабатывает 7,5 заказов (60:8), второй 4,3 заказа (60:14). В сумме это составляет 11,8 заказа. Если же заменить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится:

 

 

Подойдём к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя работниками заказов:

 

Х= мин.

Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней величиной, то общее количество обработанных за 1 час заказов не изменится:

 

Ответ: средние затраты времени на 1 заказ равны 10,2 минуты.

Внеаудиторная самостоятельная работа: решить задачу 15.

ЗАДАЧА 15 - определить среднюю прибыль в расчёте на одно предприятие.

Таблица 12 - Распределение предприятий отрасли по объёму годовой прибыли

Прибыль, млн. руб.	Число предприятий
До 30
30-40
40-50
50-60
60-70
70 и более
Итого

Решение: