| Степени свободы n | Уровень значимости a (односторонняя критическая область) | |||||||
| 0.2 | 0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | 0.0005 | |
| 1.376 | 3.078 | 6.314 | 12.706 | 31.821 | 63.656 | 318.29 | 636.58 | |
| 1.061 | 1.886 | 2.920 | 4.303 | 6.965 | 9.925 | 22.328 | 31.600 | |
| 0.978 | 1.638 | 2.353 | 3.182 | 4.541 | 5.841 | 10.214 | 12.924 | |
| 0.941 | 1.533 | 2.132 | 2.776 | 3.747 | 4.604 | 7.173 | 8.610 | |
| 0.920 | 1.476 | 2.015 | 2.571 | 3.365 | 4.032 | 5.894 | 6.869 | |
| 0.906 | 1.440 | 1.943 | 2.447 | 3.143 | 3.707 | 5.208 | 5.959 | |
| 0.896 | 1.415 | 1.895 | 2.365 | 2.998 | 3.499 | 4.785 | 5.408 | |
| 0.889 | 1.397 | 1.860 | 2.306 | 2.896 | 3.355 | 4.501 | 5.041 | |
| 0.883 | 1.383 | 1.833 | 2.262 | 2.821 | 3.250 | 4.297 | 4.781 | |
| 0.879 | 1.372 | 1.812 | 2.228 | 2.764 | 3.169 | 4.144 | 4.587 | |
| 0.876 | 1.363 | 1.796 | 2.201 | 2.718 | 3.106 | 4.025 | 4.437 | |
| 0.873 | 1.356 | 1.782 | 2.179 | 2.681 | 3.055 | 3.930 | 4.318 | |
| 0.870 | 1.350 | 1.771 | 2.160 | 2.650 | 3.012 | 3.852 | 4.221 | |
| 0.868 | 1.345 | 1.761 | 2.145 | 2.624 | 2.977 | 3.787 | 4.140 | |
| 0.866 | 1.341 | 1.753 | 2.131 | 2.602 | 2.947 | 3.733 | 4.073 | |
| 0.865 | 1.337 | 1.746 | 2.120 | 2.583 | 2.921 | 3.686 | 4.015 | |
| 0.863 | 1.333 | 1.740 | 2.110 | 2.567 | 2.898 | 3.646 | 3.965 | |
| 0.862 | 1.330 | 1.734 | 2.101 | 2.552 | 2.878 | 3.610 | 3.922 | |
| 0.861 | 1.328 | 1.729 | 2.093 | 2.539 | 2.861 | 3.579 | 3.883 | |
| 0.860 | 1.325 | 1.725 | 2.086 | 2.528 | 2.845 | 3.552 | 3.850 | |
| 0.859 | 1.323 | 1.721 | 2.080 | 2.518 | 2.831 | 3.527 | 3.819 | |
| 0.858 | 1.321 | 1.717 | 2.074 | 2.508 | 2.819 | 3.505 | 3.792 | |
| 0.858 | 1.319 | 1.714 | 2.069 | 2.500 | 2.807 | 3.485 | 3.768 | |
| 0.857 | 1.318 | 1.711 | 2.064 | 2.492 | 2.797 | 3.467 | 3.745 | |
| 0.856 | 1.316 | 1.708 | 2.060 | 2.485 | 2.787 | 3.450 | 3.725 | |
| 0.856 | 1.315 | 1.706 | 2.056 | 2.479 | 2.779 | 3.435 | 3.707 | |
| 0.855 | 1.314 | 1.703 | 2.052 | 2.473 | 2.771 | 3.421 | 3.689 | |
| 0.855 | 1.313 | 1.701 | 2.048 | 2.467 | 2.763 | 3.408 | 3.674 | |
| 0.854 | 1.311 | 1.699 | 2.045 | 2.462 | 2.756 | 3.396 | 3.660 | |
| 0.854 | 1.310 | 1.697 | 2.042 | 2.457 | 2.750 | 3.385 | 3.646 | |
| 0.851 | 1.303 | 1.684 | 2.021 | 2.423 | 2.704 | 3.307 | 3.551 | |
| 0.849 | 1.299 | 1.676 | 2.009 | 2.403 | 2.678 | 3.261 | 3.496 | |
| 0.848 | 1.296 | 1.671 | 2.000 | 2.390 | 2.660 | 3.232 | 3.460 | |
| 0.847 | 1.294 | 1.667 | 1.994 | 2.381 | 2.648 | 3.211 | 3.435 | |
| 0.846 | 1.292 | 1.664 | 1.990 | 2.374 | 2.639 | 3.195 | 3.416 | |
| 0.846 | 1.291 | 1.662 | 1.987 | 2.368 | 2.632 | 3.183 | 3.402 | |
| 0.845 | 1.290 | 1.660 | 1.984 | 2.364 | 2.626 | 3.174 | 3.390 | |
| 0.844 | 1.287 | 1.655 | 1.976 | 2.351 | 2.609 | 3.145 | 3.357 | |
| 0.843 | 1.286 | 1.653 | 1.972 | 2.345 | 2.601 | 3.131 | 3.340 | |
| 0.842 | 1.283 | 1.648 | 1.965 | 2.334 | 2.586 | 3.107 | 3.310 | |
| ¥ | 0.842 | 1.282 | 1.645 | 1.960 | 2.326 | 2.576 | 3.090 | 3.290 |
| Степени свободы | 0.4 | 0.2 | 0.1 | 0.05 | 0.02 | 0.01 | 0.002 | 0.001 |
| n | Уровень значимости a (двусторонняя критическая область) |
ПРИЛОЖЕНИЕ Е (справочное) Критические точки распределения Фишера
(число степеней свободы бóльшей дисперсии – n1. меньшей – n2)
| Уровень значимости a = 0.05 | ||||||||||||
| n2 | n1 | |||||||||||
| ¥ | ||||||||||||
| 161.45 | 199.50 | 215.71 | 224.58 | 230.16 | 233.99 | 238.88 | 243.90 | 246.47 | 249.05 | 251.77 | 254.31 | |
| 18.513 | 19.000 | 19.164 | 19.247 | 19.296 | 19.329 | 19.371 | 19.412 | 19.433 | 19.454 | 19.476 | 19.496 | |
| 10.128 | 9.552 | 9.277 | 9.117 | 9.013 | 8.941 | 8.845 | 8.745 | 8.692 | 8.638 | 8.581 | 8.526 | |
| 7.709 | 6.944 | 6.591 | 6.388 | 6.256 | 6.163 | 6.041 | 5.912 | 5.844 | 5.774 | 5.699 | 5.628 | |
| 6.608 | 5.786 | 5.409 | 5.192 | 5.050 | 4.950 | 4.818 | 4.678 | 4.604 | 4.527 | 4.444 | 4.365 | |
| 5.987 | 5.143 | 4.757 | 4.534 | 4.387 | 4.284 | 4.147 | 4.000 | 3.922 | 3.841 | 3.754 | 3.669 | |
| 5.591 | 4.737 | 4.347 | 4.120 | 3.972 | 3.866 | 3.726 | 3.575 | 3.494 | 3.410 | 3.319 | 3.230 | |
| 5.318 | 4.459 | 4.066 | 3.838 | 3.688 | 3.581 | 3.438 | 3.284 | 3.202 | 3.115 | 3.020 | 2.928 | |
| 5.117 | 4.256 | 3.863 | 3.633 | 3.482 | 3.374 | 3.230 | 3.073 | 2.989 | 2.900 | 2.803 | 2.707 | |
| 4.965 | 4.103 | 3.708 | 3.478 | 3.326 | 3.217 | 3.072 | 2.913 | 2.828 | 2.737 | 2.637 | 2.538 | |
| 4.844 | 3.982 | 3.587 | 3.357 | 3.204 | 3.095 | 2.948 | 2.788 | 2.701 | 2.609 | 2.507 | 2.404 | |
| 4.747 | 3.885 | 3.490 | 3.259 | 3.106 | 2.996 | 2.849 | 2.687 | 2.599 | 2.505 | 2.401 | 2.296 | |
| 4.667 | 3.806 | 3.411 | 3.179 | 3.025 | 2.915 | 2.767 | 2.604 | 2.515 | 2.420 | 2.314 | 2.206 | |
| 4.600 | 3.739 | 3.344 | 3.112 | 2.958 | 2.848 | 2.699 | 2.534 | 2.445 | 2.349 | 2.241 | 2.131 | |
| 4.543 | 3.682 | 3.287 | 3.056 | 2.901 | 2.790 | 2.641 | 2.475 | 2.385 | 2.288 | 2.178 | 2.066 | |
| 4.494 | 3.634 | 3.239 | 3.007 | 2.852 | 2.741 | 2.591 | 2.425 | 2.333 | 2.235 | 2.124 | 2.010 | |
| 4.451 | 3.592 | 3.197 | 2.965 | 2.810 | 2.699 | 2.548 | 2.381 | 2.289 | 2.190 | 2.077 | 1.960 | |
| 4.414 | 3.555 | 3.160 | 2.928 | 2.773 | 2.661 | 2.510 | 2.342 | 2.250 | 2.150 | 2.035 | 1.917 | |
| 4.381 | 3.522 | 3.127 | 2.895 | 2.740 | 2.628 | 2.477 | 2.308 | 2.215 | 2.114 | 1.999 | 1.878 | |
| 4.351 | 3.493 | 3.098 | 2.866 | 2.711 | 2.599 | 2.447 | 2.278 | 2.184 | 2.082 | 1.966 | 1.843 | |
| 4.325 | 3.467 | 3.072 | 2.840 | 2.685 | 2.573 | 2.420 | 2.250 | 2.156 | 2.054 | 1.936 | 1.812 | |
| 4.301 | 3.443 | 3.049 | 2.817 | 2.661 | 2.549 | 2.397 | 2.226 | 2.131 | 2.028 | 1.909 | 1.783 | |
| 4.279 | 3.422 | 3.028 | 2.796 | 2.640 | 2.528 | 2.375 | 2.204 | 2.109 | 2.005 | 1.885 | 1.757 | |
| 4.260 | 3.403 | 3.009 | 2.776 | 2.621 | 2.508 | 2.355 | 2.183 | 2.088 | 1.984 | 1.863 | 1.733 | |
| 4.242 | 3.385 | 2.991 | 2.759 | 2.603 | 2.490 | 2.337 | 2.165 | 2.069 | 1.964 | 1.842 | 1.711 | |
| 4.225 | 3.369 | 2.975 | 2.743 | 2.587 | 2.474 | 2.321 | 2.148 | 2.052 | 1.946 | 1.823 | 1.691 | |
| 4.210 | 3.354 | 2.960 | 2.728 | 2.572 | 2.459 | 2.305 | 2.132 | 2.036 | 1.930 | 1.806 | 1.672 | |
| 4.196 | 3.340 | 2.947 | 2.714 | 2.558 | 2.445 | 2.291 | 2.118 | 2.021 | 1.915 | 1.790 | 1.654 | |
| 4.183 | 3.328 | 2.934 | 2.701 | 2.545 | 2.432 | 2.278 | 2.104 | 2.007 | 1.901 | 1.775 | 1.638 | |
| 4.171 | 3.316 | 2.922 | 2.690 | 2.534 | 2.421 | 2.266 | 2.092 | 1.995 | 1.887 | 1.761 | 1.622 | |
| 4.085 | 3.232 | 2.839 | 2.606 | 2.449 | 2.336 | 2.180 | 2.003 | 1.904 | 1.793 | 1.660 | 1.509 | |
| 4.034 | 3.183 | 2.790 | 2.557 | 2.400 | 2.286 | 2.130 | 1.952 | 1.850 | 1.737 | 1.599 | 1.438 | |
| 4.001 | 3.150 | 2.758 | 2.525 | 2.368 | 2.254 | 2.097 | 1.917 | 1.815 | 1.700 | 1.559 | 1.389 | |
| 3.978 | 3.128 | 2.736 | 2.503 | 2.346 | 2.231 | 2.074 | 1.893 | 1.790 | 1.674 | 1.530 | 1.353 | |
| 3.960 | 3.111 | 2.719 | 2.486 | 2.329 | 2.214 | 2.056 | 1.875 | 1.772 | 1.654 | 1.508 | 1.325 | |
| 3.947 | 3.098 | 2.706 | 2.473 | 2.316 | 2.201 | 2.043 | 1.861 | 1.757 | 1.639 | 1.491 | 1.302 | |
| 3.936 | 3.087 | 2.696 | 2.463 | 2.305 | 2.191 | 2.032 | 1.850 | 1.746 | 1.627 | 1.477 | 1.283 | |
| 3.904 | 3.056 | 2.665 | 2.432 | 2.274 | 2.160 | 2.001 | 1.817 | 1.711 | 1.590 | 1.436 | 1.223 | |
| 3.888 | 3.041 | 2.650 | 2.417 | 2.259 | 2.144 | 1.985 | 1.801 | 1.694 | 1.572 | 1.415 | 1.189 | |
| 3.860 | 3.014 | 2.623 | 2.390 | 2.232 | 2.117 | 1.957 | 1.772 | 1.664 | 1.539 | 1.376 | 1.113 | |
| ¥ | 3.841 | 2.996 | 2.605 | 2.372 | 2.214 | 2.099 | 1.938 | 1.752 | 1.644 | 1.517 | 1.350 | 1.000 |
Продолжение приложения Е
| Уровень значимости a = 0.01 | ||||||||||||
| n2 | n1 | |||||||||||
| ¥ | ||||||||||||
| 4052.2 | 4999.3 | 5403.5 | 5624.3 | 5764.0 | 5859.0 | 5981.0 | 6106.7 | 6170.0 | 6234.3 | 6302.3 | 6365.6 | |
| 98.502 | 99.000 | 99.164 | 99.251 | 99.302 | 99.331 | 99.375 | 99.419 | 99.437 | 99.455 | 99.477 | 99.499 | |
| 34.116 | 30.816 | 29.457 | 28.710 | 28.237 | 27.911 | 27.489 | 27.052 | 26.826 | 26.597 | 26.354 | 26.125 | |
| 21.198 | 18.000 | 16.694 | 15.977 | 15.522 | 15.207 | 14.799 | 14.374 | 14.154 | 13.929 | 13.690 | 13.463 | |
| 16.258 | 13.274 | 12.060 | 11.392 | 10.967 | 10.672 | 10.289 | 9.888 | 9.680 | 9.466 | 9.238 | 9.020 | |
| 13.745 | 10.925 | 9.780 | 9.148 | 8.746 | 8.466 | 8.102 | 7.718 | 7.519 | 7.313 | 7.091 | 6.880 | |
| 12.246 | 9.547 | 8.451 | 7.847 | 7.460 | 7.191 | 6.840 | 6.469 | 6.275 | 6.074 | 5.858 | 5.650 | |
| 11.259 | 8.649 | 7.591 | 7.006 | 6.632 | 6.371 | 6.029 | 5.667 | 5.477 | 5.279 | 5.065 | 4.859 | |
| 10.562 | 8.022 | 6.992 | 6.422 | 6.057 | 5.802 | 5.467 | 5.111 | 4.924 | 4.729 | 4.517 | 4.311 | |
| 10.044 | 7.559 | 6.552 | 5.994 | 5.636 | 5.386 | 5.057 | 4.706 | 4.520 | 4.327 | 4.115 | 3.909 | |
| 9.646 | 7.206 | 6.217 | 5.668 | 5.316 | 5.069 | 4.744 | 4.397 | 4.213 | 4.021 | 3.810 | 3.602 | |
| 9.330 | 6.927 | 5.953 | 5.412 | 5.064 | 4.821 | 4.499 | 4.155 | 3.972 | 3.780 | 3.569 | 3.361 | |
| 9.074 | 6.701 | 5.739 | 5.205 | 4.862 | 4.620 | 4.302 | 3.960 | 3.778 | 3.587 | 3.375 | 3.165 | |
| 8.862 | 6.515 | 5.564 | 5.035 | 4.695 | 4.456 | 4.140 | 3.800 | 3.619 | 3.427 | 3.215 | 3.004 | |
| 8.683 | 6.359 | 5.417 | 4.893 | 4.556 | 4.318 | 4.004 | 3.666 | 3.485 | 3.294 | 3.081 | 2.868 | |
| 8.531 | 6.226 | 5.292 | 4.773 | 4.437 | 4.202 | 3.890 | 3.553 | 3.372 | 3.181 | 2.967 | 2.753 | |
| 8.400 | 6.112 | 5.185 | 4.669 | 4.336 | 4.101 | 3.791 | 3.455 | 3.275 | 3.083 | 2.869 | 2.653 | |
| 8.285 | 6.013 | 5.092 | 4.579 | 4.248 | 4.015 | 3.705 | 3.371 | 3.190 | 2.999 | 2.784 | 2.566 | |
| 8.185 | 5.926 | 5.010 | 4.500 | 4.171 | 3.939 | 3.631 | 3.297 | 3.116 | 2.925 | 2.709 | 2.489 | |
| 8.096 | 5.849 | 4.938 | 4.431 | 4.103 | 3.871 | 3.564 | 3.231 | 3.051 | 2.859 | 2.643 | 2.421 | |
| 7.945 | 5.719 | 4.817 | 4.313 | 3.988 | 3.758 | 3.453 | 3.121 | 2.941 | 2.749 | 2.531 | 2.305 | |
| 7.823 | 5.614 | 4.718 | 4.218 | 3.895 | 3.667 | 3.363 | 3.032 | 2.852 | 2.659 | 2.440 | 2.211 | |
| 7.636 | 5.453 | 4.568 | 4.074 | 3.754 | 3.528 | 3.226 | 2.896 | 2.716 | 2.522 | 2.300 | 2.064 | |
| 7.562 | 5.390 | 4.510 | 4.018 | 3.699 | 3.473 | 3.173 | 2.843 | 2.663 | 2.469 | 2.245 | 2.006 | |
| 7.314 | 5.178 | 4.313 | 3.828 | 3.514 | 3.291 | 2.993 | 2.665 | 2.484 | 2.288 | 2.058 | 1.805 | |
| 7.171 | 5.057 | 4.199 | 3.720 | 3.408 | 3.186 | 2.890 | 2.563 | 2.382 | 2.183 | 1.949 | 1.683 | |
| 7.077 | 4.977 | 4.126 | 3.649 | 3.339 | 3.119 | 2.823 | 2.496 | 2.315 | 2.115 | 1.877 | 1.601 | |
| 7.011 | 4.922 | 4.074 | 3.600 | 3.291 | 3.071 | 2.777 | 2.450 | 2.268 | 2.067 | 1.826 | 1.540 | |
| 6.963 | 4.881 | 4.036 | 3.563 | 3.255 | 3.036 | 2.742 | 2.415 | 2.233 | 2.032 | 1.788 | 1.494 | |
| 6.925 | 4.849 | 4.007 | 3.535 | 3.228 | 3.009 | 2.715 | 2.389 | 2.206 | 2.004 | 1.759 | 1.457 | |
| 6.895 | 4.824 | 3.984 | 3.513 | 3.206 | 2.988 | 2.694 | 2.368 | 2.185 | 1.983 | 1.735 | 1.427 | |
| 6.807 | 4.749 | 3.915 | 3.447 | 3.142 | 2.924 | 2.632 | 2.305 | 2.122 | 1.918 | 1.665 | 1.331 | |
| 6.763 | 4.713 | 3.881 | 3.414 | 3.110 | 2.893 | 2.601 | 2.275 | 2.091 | 1.886 | 1.629 | 1.279 | |
| 6.686 | 4.648 | 3.821 | 3.357 | 3.054 | 2.838 | 2.547 | 2.220 | 2.036 | 1.829 | 1.566 | 1.164 | |
| ¥ | 6.635 | 4.605 | 3.782 | 3.319 | 3.017 | 2.802 | 2.511 | 2.185 | 2.000 | 1.791 | 1.523 | 1.000 |
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
(справочное)
Рабочая программа по дисциплине
«Теория вероятностей и математическая статистика»
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ. ЕЁ МЕСТО В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ
Цель преподавания дисциплины
Курс «Теория вероятностей и математическая статистика» преподаётся в соответствии с принципом непрерывной математической подготовки студентов технических вузов. Кроме того. применение вычислительной техники при выполнении лабораторных работ по математической статистике способствует непрерывному использованию студентами компьютеров и пакетов прикладных программ.
Цель преподавания дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» студентам гуманитарно-экономического факультета:
а) обеспечить студентов знаниями. необходимыми для изучения многих специальных дисциплин; подготовить их к работе над дипломными проектами. которые в большинстве своём содержат разделы по обработке статистических данных или прогнозирование поведения случайных экономических процессов;
б) сформировать у студентов вероятностное мышление. поскольку в практической деятельности каждый из них столкнётся с массовыми случайными явлениями. необходимостью принятия управленческих решений в условиях неопределённости и риска.
Задачи изучения дисциплины
Задачи изучения дисциплины заключаются в том. чтобы научиться:
а) строить вероятностно-статистические модели случайных процессов и явлений;
б) собирать статистические данные;
в) выполнять анализ статистических данных;
г) охарактеризовывать изучаемое явление. объект. процесс на основе анализа статистических данных;
д) прогнозировать поведение исследуемого явления. объекта. процесса;
е) использовать вычислительную технику для обработки статистических данных.
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Случайные события и их вероятности
2.1.1 Предмет и задачи теории вероятностей. Исторический очерк. Вероятностный эксперимент. Пространство элементарных событий. Операции над событиями: инверсия. сумма. произведение. разность событий.
2.1.2 Относительная частота. Понятие вероятности. Аксиомы теории вероятностей.
2.1.3 Методы непосредственного вычисления вероятностей. Классический метод. Элементы комбинаторики.
2.1.4 Свойства вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий.
2.1.5 Формула полной вероятности. Формула Байеса. Байесовский подход к анализу экономических систем с учётом поступления дополнительной информации.
2.1.6 Последовательность независимых испытаний. Испытания Бернулли. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Теоремы Пуассона. Муавра-Лапласа. Наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли.
