Формализация рассуждений. Правильные рассуждения

Рассуждение – это построение нового высказывания D на основании уже имеющихся высказываний P ₁, P ₂,..., P_n. Высказывания P ₁, P ₂,..., P_n называются посылками, а высказывание D – заключением.

Рассуждение называется правильным, если из конъюнкции посылок следует заключение, т. е. формула P ₁Ù P ₂Ù... Ù P_n ® D тождественно истинна.

Таким образом, если все посылки истинны (т. е. их конъюнкция равна 1), то истинное заключение соответствует правильному рассуждению, а ложное заключение – неправильному. При ложности хотя бы одной из посылок независимо от истинностного значения заключения рассуждение будет правильным.

Схематически рассуждение изображается следующим образом:

P ₁, P ₂,..., P_n

D

Пример 1.7.

Проверить правильность следующих рассуждений.

а) Если погода дождливая, то небо не ясное. Небо ясное. Значит, погода не дождливая.

Введем высказывания: А= "Погода дождливая"; B = "Небо ясное". Схема рассуждения имеет вид:

А ® Ø B, B

Ø А

Докажем, что формула ((А ®Ø B)Ù B)®Ø А является тождественно истинной. Приведем эту формулу к КНФ и покажем, что формула тождественно истинна:

((А ®Ø B)Ù B)®Ø А º Ø((А ®Ø B)Ù B)ÚØ A º (A Ù B)ÚØ B ÚØ A º

º (Ø А Ú Ø B Ú A)Ù(Ø A ÚØ B Ú B) º 1.

Значит, рассуждение правильное.

б) Если будет хорошая погода, я пойду гулять. Если будет плохая погода, я буду читать книгу. Погода будет хорошая. Следовательно, я не буду читать книгу.

Введем высказывания: А = “Будет хорошая погода”; B = “Я пойду гулять”. C = “Я буду читать книгу”. Схема рассуждения имеет вид:

А ® B, Ø A ® С, A _.

Ø С

Найдем КНФ формулы ((А ® B) Ù (Ø A ® С) Ù A) ® Ø C:

((А ® B) Ù (Ø A ® С) Ù A) ® Ø C º Ø((А ® B) Ù (Ø A ® С) Ù A) Ú Ø C º Ø(А ® B) Ú Ø(Ø A ® С) ÚØ A) Ú Ø C º А Ù Ø B Ú Ø A ÙØС ÚØ A ÚØ C º А Ù Ø B Ú Ø A Ú Ø C º (А Ú Ø A Ú Ø C) Ù (Ø B Ú Ø A Ú Ø C) º Ø B Ú Ø A Ú Ø C.

Полученная КНФ нашей формулы не содержит одновременно какой-либо переменной и ее отрицания. Следовательно, формула не является тождественно-истинной, а рассуждение не является правильным.

 

Задания

1. Выполнив равносильные преобразования, установить, является ли данная формула тождественно истинной. Привести данную формулу к СДНФ.

2. Установить, является ли данное рассуждение правильным (проверить, следует ли заключение из конъюнкции посылок).

 

Варианты индивидуальных заданий

Вариант № 1

1. (P ® Q) ® ((Q ® R) ® (P ® R)).

2. Если исходные данные корректны и программа работает правильно, то получается верный результат. Результат неверен. Следовательно, исходные данные некорректны или программа работает неправильно.

Вариант № 2

1. (P ® Q) ® ((P ® (Q ® R)) ® (P ® R)).

2. Профсоюзы штата будут поддерживать губернатора, если он подпишет этот закон. Фермеры окажут ему поддержку, если он наложит на него вето. Очевидно, что он или не подпишет закон, или не наложит на него вето. Следовательно, губернатор потеряет голоса рабочих, объединенных в профсоюзы, или голоса фермеров.

Вариант № 3

1. (P ® R) ® ((Q ® R) ® ((P Ú Q) ® R)).

2 Если подозреваемый совершил кражу, то либо она была тщательно подготовлена, либо он имел соучастников. Если бы кража была тщательно подготовлена, то, если бы были соучастники, украдено было бы много. Украдено мало. Значит, подозреваемый невиновен.

Вариант № 4

1. (Q ® R) ® ((P Ú Q) ® (P Ú R)).

2. Если курс ценных бумаг растет или процентная ставка снижается, то падает курс акций. Если процентная ставка снижается, то либо курс акций не падает, либо курс ценных бумаг не растет. Курс акций понижается. Следовательно, снижается процентная ставка.

Вариант № 5

1. ((Q Ú (R «Ø P)) ® (R Ù (P ® Q))) Ú Ø R.

2. Договор будет выполнен тогда и только тогда когда дом будет закончен в феврале. Если дом будет закончен в феврале, то мы можем переехать в марте. Договор будет выполнен, Следовательно, мы можем переехать в марте.

Вариант № 6

1. ((P ® Q) ® (Q ® R))Ù P ® R.

2. Если мы не будем продолжать политику сохранения цен, то мы потеряем голоса фермеров. Если же мы будем продолжать эту политику и не прибегнем к контролю над производством, то продолжится перепроизводство. Без голосов фермеров нас не переизберут. Значит, если нас переизберут и мы не прибегнем к контролю над производством, то продолжится перепроизводство.

Вариант № 7

1. (Q Ú (R ® P)) ® (R Ù (P ® Q)).

2. Если капиталовложения останутся постоянными, то возрастут правительственные расходы или возникнет безработица. Если правительственные расходы не возрастут, то налоги будут снижены. Если налоги будут снижены и капиталовложения останутся постоянными, то безработица не возрастет. Безработица не возрастет. Следовательно, правительственные расходы возрастут.

Вариант № 8

1. (P ® Q) ® ((Q ® R) ® (P ® R)).

2. В бюджете возникнет дефицит, если не повысят налоги. Если в бюджете возникнет дефицит, то расходы на социальные нужды сократятся. Следовательно, если повысят налоги, то расходы на социальные нужды не сократятся.

Вариант № 9

1. (P ® Q) ® ((Q ® R) ® (P ® R)).

2. Если цены высоки, то и заработная плата высока. Цены высоки или применяется регулирование цен. Если применяется регулирование цен, то нет инфляции. Наблюдается инфляция. Следовательно, заработная плата высока.

Вариант № 10

1. ((Q Ú (R «Ø P)) ® (R Ù (P ® Q))) Ú Ø R.

2. Если я устал, я хочу вернуться домой. Если я голоден, я хочу вернуться домой или пойти в ресторан. Я устал и голоден. Поэтому я хочу вернуться домой.

Вариант № 11

1. (P ® Q) ® ((Q ® R) ®(P ® R)).

2. Если будет холодно, то я надену теплое пальто, если рукав будет починен. Завтра будет холодно, а рукав не будет починен. Значит, я не надену теплое пальто.

Вариант № 12

1. (P ® Q) ® ((P ® (Q ® R)) ® (P ® R)).

2. Если будет идти снег, машину будет трудно вести. Если будет трудно вести машину, я опоздаю, если не выеду пораньше. Идет снег, и я выеду пораньше. Значит, я не опоздаю.

Вариант № 13

1. (P ® R) ® ((Q ® R) ® ((P Ú Q) ® R)).

2 Намеченная атака удастся, если захватить противника врасплох или его позиции плохо защищены. Захватить противника врасплох можно только, если он беспечен. Он не будет беспечен, если его позиции плохо защищены. Следовательно, намеченная атака не удастся.

Вариант № 14

1. (Q ® R) ® ((P Ú Q) ® (P Ú R)).

2. Если бы он был умен, то он увидел бы свою ошибку. Если бы он был искренен, то он признался бы в ней. Однако он не умен и не искренен. Следовательно, он или не увидит свою ошибку, или не признается в ней.

Вариант № 15

1. ((Q Ú (R «Ø P)) ®(R Ù (P ® Q))) Ú Ø R.

2. Если завтра будет хорошая погода, то я буду кататься на коньках или я пойду на лыжах. Если я пойду на лыжах, то лучше поехать за город, а если буду кататься на коньках, то останусь в городе. Мне не хочется завтра в выходной день оставаться в городе. Следовательно, если завтра будет хорошая погода, то я пойду на лыжах.

Вариант № 16

1. ((P ® Q) ® (Q ® R))Ù P ® R.

2. Андрей или очень переутомился, или болен. Если он переутомился, то он раздражается. Он не раздражается. Следовательно, Андрей не болен.

Вариант № 17

1. (Q Ú (R ® P)) ® (R Ù(P ® Q)).

2. Если Иванов работает, то он получает зарплату. Если же Иванов учится, то он получает стипендию. Но Иванов не получает зарплату или не получает стипендию. Следовательно, он не работает или не учится.

Вариант № 18

1. (P ® Q) ®((Q ® R) ®(P ® R)).

2. Если я лягу спать, то не сдам экзамен. Если я буду заниматься ночью, то тоже не сдам экзамен. Следовательно, я не сдам экзамен.

Вариант № 19

1. (P ® Q) ® ((Q ® R) ® (P ® R)).

2. Если я пойду завтра на первую лекцию, то должен буду встать рано. Если я пойду вечером на дискотеку, то лягу спать поздно. Если я лягу спать поздно, а встану рано, я буду плохо себя чувствовать. Следовательно, я должен пропустить первую лекцию или не ходить на дискотеку.

Вариант № 20

1. (R ® P) ®((P ® Q) ® (R ® Q)).

2. Если человек занимается спортом, то он здоров. Если человек здоров, то он счастлив. Этот человек занимается спортом. Значит, он счастлив.

 

Тема 2. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ