Пусть на отрезке [ a, b ] задана функция y = f (x). Точки х и 
принадлежат интервалу (a, b). Разность 
называется приращением независимой переменной х в точке , а 
- приращением функции в точке при данном приращении D х (рис. 9).
Пример 1.17. Найти приращения функций y = sin x и 
в точке при приращении аргумента 
.
Находим: 1) 
;
2) 
.
Рис. 9
Определение 1. Функция 
называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности этой точки и бесконечно малому приращению независимой переменной соответствует бесконечно малое приращение функции D y, т. е.
. (1.4)
Например, функция y = С является непрерывной в любой точке х Î(-¥; +¥), так как 
.
Функция y = х так же является непрерывной в любой точке х Î(-¥; +¥), так как 
.
Преобразуем условие непрерывности (1.4)
.
Так как 
, 
, то 
. Учитывая это, получим
или 
.
Последнее равенство можно записать следующим образом:
.
Таким образом, если функция непрерывная, то предел от функции равен функции от предела независимой переменной, т. е. можно переходить к пределу под знаком непрерывной функции.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности этой точки и предел функции в этой точке равен значению функции в предельной точке, т. е.
. (1.5)
Определение 3. Функция называется непрерывной на отрезке [ a, b ], если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и односторонние пределы функции в граничных точках равны значениям функции в этих точках, т. е. 
, 
.
Действия над непрерывными функциями
Теорема 1.11. Если функции и 
непрерывны в точке , то в этой точке также непрерывны следующие функции:
1) 
;
2) 
;
3) 
, где 
.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Используем второе определение непрерывности функции в точке и свойства пределов, получим:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Так как пределы от рассмотренных функций равняются значениям этих функций в предельной точке, то эти функции непрерывны.
Непрерывность элементарных функций
1. Многочлен 
является непрерывной функцией, так как он образован с помощью алгебраических действий сложения и умножения непрерывных функций: постоянных коэффициентов 
и функции y = х (теорема 1.11).
2. Докажем, что функция y = sin x является непрерывной. Найдем
.
Здесь использовали первый замечательный предел и то, что произведение бесконечно малой функции D х на ограниченную функцию 
является бесконечно малой. Так как , то по первому определению непрерывности функции функция y = sin x является непрерывной.
3. Докажем непрерывность функции y = ln x.
Найдем 
.
Здесь был использован второй замечательный предел.
Аналогично можно доказать непрерывность других элементарных функций.
