Применение второго замечательного предела

В финансовых вычислениях

При начислении сложных процентов один раз в год справедлива формула

,

где - сумма первоначального долга, - сумма погашаемого долга,

n - срок долга в годах, i - годовая процентная ставка.

Если проценты начисляются m раз в год по годовой процентной ставке j, то находится по формуле

.

В долгосрочных финансовых операциях и в теоретических исследованиях используют так называемое непрерывное начисление процентов. В этом случае проценты начисляются за каждый бесконечно малый промежуток времени и добавляются к сумме для начисления процентов на каждом следующем бесконечно малом промежутке времени. Найдем формулу для начисления наращенной суммы долга S(n) в этом случае

,

где - процентная ставка при непрерывном начислении процентов, которая называется силой роста.

Пример 1.10. На сумму 10000 руб. в течение двух лет (n = 2) банк начислял сложные проценты по годовой процентной ставке j = 0,10. Найти наращенную сумму, если проценты начислялись:

1) ежеквартально (m = 4); 2) ежедневно (m = 365); 3) непрерывно (m ®¥).

Находим

руб.

руб.

руб.

 

Сравнение бесконечно малых функций

1. Сравнить бесконечно малые функции и значит найти предел их отношения .

2. Бесконечно малые функции называются несравнимыми, если предел их отношения не существует.

Пример 1.11. Сравнить бесконечно малые функции

и .

Находим, не существует. Следовательно, бесконечно малые функции и несравнимые.

3. Бесконечно малые функции называются одного порядка малости, если предел их отношения равен отличной от нуля конечной величине.

, где .

Пример 1.12. Сравнить бесконечно малые функции

и при х ® 2.

Находим .

Следовательно, бесконечно малые функции и одного порядка малости.

4. Бесконечно малые функции называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице.

~ .

5. Бесконечно малая функция называется более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой , если предел их отношения равен нулю

.

Запись = о () означает, что более высокого порядка малости по сравнению с . (Здесь в записи используется о – буква «о» маленькая).

Пример 1.13. , .

6. Бесконечно малая функция называется n -го порядка малости по сравнению с , если , где .

Пример 1.14. Определить порядок малости по сравнению с x при .

Находим

.

Следовательно, бесконечно малая функция 2-го порядка малости по сравнению с x.

Теорема 1.10. Предел отношения бесконечно малых функций не изменится, если их заменить эквивалентными бесконечно малыми функциями, т. е.

, где ~ , ~ .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ~ , ~ , получаем

.

Пример 1.16. Найти предел .

Так как sin3 x ~ 3 x и tg5 x ~ 5 x, то .

Непрерывность функции в точке и на отрезке