Второй замечательный предел. Рассмотрим последовательность, где

Рассмотрим последовательность , где . Найдем несколько членов этой последовательности:

; ; ; …,

; ; .

Как можно заметить, члены последовательности возрастают с увеличением их номеров.

Если последовательность монотонно возрастает " n и ограничена, то по теореме Вейерштрасса она имеет предел. Покажем, что рассматриваемая последовательность удовлетворяет этим требованиям.

Покажем сначала, что рассматриваемая последовательность монотонно возрастает, т. е. " n.

Воспользуемся формулой разложения бинома Ньютона, которая имеет вид

.

Запишем разложение члена последовательности по этой формуле

.

Здесь в слагаемых каждый сомножитель, стоящий в числителе дробей, поделим на n, имеющееся в знаменателе. Получим

.

Также поступим с .

.

Так как слагаемые в разложении меньше соответствующих слагаемых в разложении :

, , …, " k Î N,

то .

Покажем, что последовательность ограничена. Запишем

.

Поделим каждую скобку в числителе на n, получим

.

Каждая скобка в правой части этого равенства меньше единицы, поэтому справедливо неравенство

.

Усилим данное неравенство. Уменьшим знаменатели дробей, заменив факториалы, стоящие в знаменателях на степени:

; ; , …, ,…, .

Имеем неравенство , правая часть которого при n ®¥ представляет бесконечную убывающую геометрическую прогрессию. Найдем сумму этой бесконечной прогрессии, получим

.

Следовательно, последовательность ограничена.

Таким образом, последовательность с общим членом имеет предел. Этот предел равен

, (1.2)

где e = 2,718281828… - иррациональное число.

Покажем, что второй замечательный предел может быть записан в следующем виде

, где - непрерывная бесконечно малая функция.

Значение любой бесконечно малой функции a(х) при конкретном значении х удовлетворяет неравенству

,

где n подходящее достаточно большое число.

Отсюда можно записать два неравенства

и .

Тогда справедливо неравенство

.

При этом если a(х)®0, то n ® ¥.

Так как

,

,

т. е. , то по теореме 1.8 о промежуточной функции

. (1.3)

Данное число е, являясь основанием экспоненциальной функции , имеет большое значение в математике и естественных науках.

Второй замечательный предел может быть использован при раскрытии неопределенностей типа , но не любого вида, а только в том случае, когда добавка к единице a(х) и степень находятся в строго определенном соотношении. К единице должна прибавляться бесконечно малая функция (величина), а степень должна являться обратной к этой функции (величине).

Пример 1.8. Найти предел .

Р е ш е н и е. Так как в основании функции под пределом к единице добавляется , то для того, чтобы применить второй замечательный предел, степень должна быть равна обратной к ней величине, т. е. . Именно эту степень записываем, а затем с помощью алгебраических действий преобразуем ее к первоначальному виду, т. е. к n.

.

Учитывая то, что степени перемножаются при возведении в степень, получаем .

Пример 1.9. Найти предел .

Р е ш е н и е. Прежде всего необходимо убедиться, что в данном пределе имеется возможность применить второй замечательный предел. Для этого и найдем предел . Следовательно, имеет место неопределенность типа .

Затем отдельно ищем предел числителя и знаменателя

.

С пределами в числителе и знаменателе поступаем так же, как в предыдущем примере 1.8, т. е. вместо степени х записываем степени, которые требуется для применения второго замечательного предела, а затем их компенсируем.

Получаем

.

При нахождении этого предела возможен другой способ решения, введение новой переменной. Обозначим основание функции под пределом через 1+a, получим Þ Þ .

Определяем, к чему стремится a: .

Находим предел

.