Рассмотрим соотношение вида F(x, y)=0, связывающее переменные величины x и у. Равенство (1) будем называть уравнением с двумя переменными х, у, если это равенство справедливо не для всех пар чисел х и у. Примеры уравнений: 2х + 3у = 0, х2 + у2 – 25 = 0,
sin x + sin y – 1 = 0.
Если (1) справедливо для всех пар чисел х и у, то оно называется тождеством. Примеры тождеств: (х + у)2 - х2 - 2ху - у2 = 0, (х + у)(х - у) - х2 + у2 = 0.
Уравнение (1) будем называть уравнением множества точек (х; у), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки множества и не удовлетворяют координаты никакой точки, не принадлежащие этому множеству.
Важным понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии. Пусть на плоскости заданы прямоугольная система координат и некоторая линия α.
Определение. Уравнение (1) называется уравнением линии α (в созданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии α, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Если (1) является уравнением линии α, то будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию α.
Линия α может определятся не только уравнением вида (1), но и уравнением вида
F (P, φ) = 0, содержащим полярные координаты.
6. Прямая линия на плоскости:
- уравнение прямой с угловым коэффициентом;
Пусть дана некоторая прямая, не перпендикулярная, оси ОХ. Назовем углом наклона данной прямой к оси ОХ угол α, на который нужно повернуть ось ОХ, чтобы положительное направление совпало с одним из направлений прямой. Тангенс угла наклона прямой к оси ОХ называют угловым коэффициентом этой прямой и обозначают буквой К.
| |||
| |||
Выведем уравнение данной прямой, если известны ее К и величина в отрезке ОВ, которой она отсекает на оси ОУ.
|
|
y=kx+b
. Но NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x => учитывая (1), получаем, что точка М (х; у) С на данной прямой <=>, когда ее координаты удовлетворяют уравнению: 
=>
Уравнение (2) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Если K=0, то прямая параллельна оси ОХ и ее уравнение имеет вид y = b.
- уравнение прямой, проходящей через две точки;
|
|
. Это уравнение, если у1≠ у2, можно записать в виде:
Если у1 = у2 , то уравнение искомой прямой имеет вид у = у1. В этом случае прямая параллельна оси ОХ. Если х1 = х2, то прямая, проходящая через точки М1 и М2, параллельна оси ОУ, ее уравнение имеет вид х = х1.
- уравнение прямой, проходящей через заданную точку с данным угловым коэффициентом;
|
|
Замечание. Если прямая проходит через точку М1 (х1;у1) перпендикулярна оси ОХ, т.е. ее угловой коэффициент обращается в бесконечность, то уравнение прямой имеет вид
х – х1 = 0. Формально это уравнение можно получит из уравнения (3), если разделить (3) на k и затем устремить k к ∞.
- общее уравнение прямой, частные случаи;
|
|
и, обратно, уравнение (5) при произвольных коэффициентах А, В, С (А и В ≠ 0 одновременно) определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат Оху.
Доказательство.
Сначала докажем первое утверждение. Если прямая не перпендикулярна Ох, то она определяется уравнением первой степени: у = kx + b, т.е. уравнением вида (5), где
A = k, B = -1 и C = b. Если прямая перпендикулярна Ох, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине α отрезка, отсекаемого прямой на оси Ох.
Уравнение этой прямой имеет вид х = α, т.е. также является уравнение первой степени вида (5), где А = 1, В = 0, С = - α. Тем самым доказано первое утверждение.
Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (5), причем хотя бы один из коэффициентов А и В ≠ 0.
Если В ≠ 0, то (5) можно записать в виде 
. Пологая 
, получаем уравнение у = kx + b, т.е. уравнение вида (2) которое определяет прямую.
Если В = 0, то А ≠ 0 и (5) принимает вид 
. Обозначая 
через α, получаем
х = α, т.е. уравнение прямой перпендикулярное Ох.
Линии, определяемые в прямоугольной системе координат уравнением первой степени, называются линиями первого порядка.
Уравнение вида Ах + Ву + С = 0 является неполным, т.е. какой – то из коэффициентов равен нулю.
1) С = 0; Ах + Ву = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат.
2) В = 0 (А ≠ 0); уравнение Ах + С = 0 и определяет прямую параллельную Оу.
3) А = 0 (В ≠ 0); Ву + С = 0 и определяет прямую параллельную Ох.
|
|
Уравнение (6) называется уравнением прямой «в отрезках». Числа а и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения удобна для геометрического построения прямой.
- нормальное уравнение прямой;
Аx + Вy + С = 0 – общее уравнение некоторой прямой, а (5) x cos α + y sin α – p = 0 (7)
ее нормальное уравнение.
Так как уравнение (5) и (7) определяют одну и ту же прямую, то (А1х + В1у + С1 = 0 и
А2х + В2у + С2 = 0 => 
) коэффициенты этих уравнений пропорциональны. Это означает, что помножив все члены уравнения (5) на некоторый множитель М, мы получим уравнение МАх + МВу + МС = 0, совпадающее с уравнением (7) т.е.
МА = cos α, MB = sin α, MC = - P (8)
Чтобы найти множитель М, возведем первые два из этих равенств в квадрат и сложим:
М2 (А2 + В2) = cos 2 α + sin2 α = 1
(9)
Число М, по умножении на которое общее уравнение прямой приобретает нормальный вид, называется нормирующим множителем этого уравнения.
Замечание. Если С = 0, то знак нормирующего множителя можно выбрать по желанию.
Угол между двумя прямыми.
Рассмотрим две прямые L 1 и L2. Пусть уравнение L1 имеет вид y = k1x + b1, где
|
, или
|
(1)
Формула (1) определяет один из углов между прямыми. Второй угол равен π – φ.
