Расстояние между двумя точками

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

1. Метод координат: числовая прямая, координаты на прямой; прямоугольная (декартовая) система координат на плоскости; полярные координаты.

Рассмотрим какую–нибудь прямую. Выберем на ней направление (тогда она станет осью) и некоторую точку 0 (начало координат). Прямая с выбранным направлением и началом координат называется координатной прямой (при этом считаем, что единица масштаба выбрана).

Пусть М – произвольная точка на координатной прямой. Поставим в соответствии точке М вещественное число x, равное величине ОМ отрезка : x=ОМ. Число x называется координатой точки М.

 

 

Таким образом, каждой точке координатной прямой соответствует определенное вещественное число – ее координата. Справедливо и обратное, каждому вещественному числу x соответствует некоторая точка на координатной прямой, а именно такая точка М, координата которой равна x. Такое соответствие называется взаимно однозначным.

Итак, вещественные числа можно изображать точками координатной прямой, т.е. координатная прямая служит изображением множества всех вещественных чисел. Поэтому множество всех вещественных чисел называют числовой прямой, а любое число – точкой этой прямой. Около точки на числовой прямой часто указывают число – ее координату.

Прямоугольная (или декартовая) система координат на плоскости.

Две взаимно перпендикулярные оси О_x и О_y, имеющие общее начало О и одинаковую единицу масштаба, образуют прямоугольную (или декартовую) систему координат на плоскости.

Ось ОХ называется осью абсцисс, ось ОY – осью ординат. Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси ОХ и ОY _, называется координатной плоскостью и обозначается О_xy.

Итак, прямоугольная система координат на плоскости устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством пар чисел, которое дает возможность при решении геометрических задач применить алгебраические методы. Оси координат разбивают плоскость на 4 части их называют четвертями, квадратными или координатными углами.

Полярные координаты.

Полярная система координат состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее луча ОЕ, называемого полярной осью. Кроме того, задается единица масштаба для измерения длин отрезков. Пусть задана полярная система координат и пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим через Р – расстояние точки М от точки О, а через φ – угол, на который луч повернуть против часовой стрелки полярную ось для совмещения с лучом ОМ.

 

 

 

Полярными координатами точки М называют числа Р и φ. Число Р считают первой координатой и называют полярным радиусом, число φ – второй координатой и называют полярным углом.

Точка М с полярными координатами Р и φ обозначаются так: М(;φ). Установим связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами.
При этом будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.

 

 

Пусть точка М имеет прямоугольные координаты X и Y и полярные координаты Р и φ.

 

	x = p cos φ, y = p sin φ
		(1)

 

 

Эти формулы выражают прямоугольные координаты через полярные, а выражение полярных координат через прямоугольные следует из этих формул:

 

		(2)

 

Формула определяет два значения полярного угла, так как φ изменяется от 0 до 2π. Из этих двух значений угла φ выбирают то, при котором удовлетворяются равенства (1).

 

Расстояние между двумя точками.

Теорема. Для любых двух точек М₁ (x₁ ;y₁) и М₂ (x₂; y₂) плоскости расстояние α между ними выражается формулой:

 

		(1)

 

Доказательство.

Опусти из точек М₁ и М₂ перпендикуляры М₁В и М₁А,. так как (x₂; y₂). По теореме, если М₁ (х₁) и М₂ (х₂) – любые две точки и α– расстояние между ними, то α = ‌‌‌‍‌‌|x₂ - x₁|:

|М₁ К|=|x₂ - x₁|; |М₂ К|=|y₂ - y₁|.

 

 

Площадь треугольника.

Теорема. Для любых трех точек А (х₁; у₁), В (х₂; у₂) и С (х₃; у₃), не лежащих на одной прямой, площадь S rABC выражается формулой:

 

(3)

 

 

Доказательство.

 

 

,

из которой после несложных преобразований следует формула (3).