Определение. Смешанным произведением трех векторов 
, 
, 
называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и , т.е. 
.
Геометрический смысл смешанного произведения выражает следующая теорема.
Теорема. Смешанное произведение равно объему 
параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , , , взятому со знаком «плюс», если тройка векторов , , правая, и со знаком «минус», если тройка векторов , , левая. Если же векторы , , компланарны, то 
.
В краткой записи:
 |
Доказательство видно из рисунка.
Свойства смешанного произведения
1. 
.
2. Величина векторного произведения не изменяется при циклической перестановке сомножителей:
3. 
векторы 
компланарны.
4. Смешанное произведение линейно по каждому из сомножителей. В частности,
.
Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей
Теорема. Если векторы 
заданы своими координатами: 
, 
, 
, то смешанное произведение 
равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е.
. (1.6)
Пример 12. Компланарны ли векторы 
Решение. Вычислим смешанное произведение векторов по формуле (1.6) 
, следовательно, векторы 
- компланарны.
Пример 13. Образуют ли векторы 
базис в пространстве 
Проверим, компланарны ли векторы 
. Для этого вычислим их смешанное произведение
следовательно, векторы некомпланарны, а значит, образуют базис в пространстве 
Пример 14. Векторы образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и 
Вычислить 
Решение. 
Пример 15. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
Решение.
Пример 16. Найти объем тетраэдра с вершинами в точках 
Решение. Найдем координаты векторов 
Вычислим объем параллелепипеда, построенного на векторах
Пример 17. Лежат ли точки 
в одной плоскости?
Решение. Найдем координаты векторов 
Проверим, компланарны ли векторы
, для этого вычислим их смешанное произведение:
следовательно, векторы некомпланарны, а, значит, точки 
не лежат в одной плоскости.
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Общее уравнение прямой.
Уравнение вида 
в котором 
называется общим уравнением прямой на плоскости.
2.2 Уравнение прямой, проходящей через данную точку 
перпендикулярно 
.
Рис. 3
Через точку перпендикулярно вектору 
можно провести единственную прямую 
. Пусть 
произвольная точка прямой . Тогда точка 
Условие перпендикулярности двух векторов состоит в том, что 
Вектор 
, следовательно, 
(2.1)
Уравнение (2.1) называется уравнением прямой по точке и нормальному вектору .
Пример 18. Написать уравнение прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору нормали 
Решение. Воспользуемся уравнением (2.1). В нашей задаче 
Имеем 
. Раскрывая скобки и приводя подобные члены получаем общее уравнение прямой 
Пример 19. Написать уравнение прямой, проходящей через точку 
параллельно прямой 
.
Решение. Требуется написать уравнение прямой, параллельной прямой . Нормальный вектор к этой прямой 
является вектором нормали и к искомой прямой. Поэтому следует воспользоваться уравнением (2.1). Получаем 
. После преобразования имеем общее уравнение прямой 
