Скалярное произведение и его свойства

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом ЮРГУЭС

к внутривузовскому изданию в качестве учебно-методического пособия

для студентов всех форм обучения

 

 

ШАХТЫ

 

 

Составители:

к.ф.-м.н., доцент кафедры «Математика» ЮРГУЭС

А.Б.Михайлов

к.т.н., доцент кафедры «Математика» ЮРГУЭС

И.Д. Михайлова И.Д.

к.т.н., доцент кафедры «Математика» ЮРГУЭС

Г.Р. Саакян

 

 

Рецензенты:

к.ф.-м.н., директор ФГУ ИМЦА

И.М. Мальцев

к.ф.-м.н., доцент кафедры

 

Аналитическая геометрия. Учеб.-метод. пособие / составители А.Б. Михайлов, И.Д.Михайлова, Г.Р. Саакян, И.П. Ковалева; Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. – Электрон. дан. – Шахты: ЮРГУЭС, 2008. – Режим доступа: http://libdb.ssu.ru/. Доступен также в локальной сети \\libdss.

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Введение…………………………………………………………………….

1. Элементы векторной алгебры………………………………………….

1.1 Векторы…………………………………………………………………

1.2 Скалярное произведение и его свойства …………………………….

1.3 Векторное произведение векторов …………………………………...

1.4Смешанное произведение векторов. …………………………………

2. Прямая на плоскости…………………………………………………….

2.1 Уравнение прямой, проходящей через данную точку

перпендикулярно …………………………………………

2.2 Общее уравнение прямой………………………………………………

2.3 Уравнение прямой в отрезках на осях…………………………………

2.4 Уравнение прямой, проходящей через данную точку

параллельно вектору ………………………………………..

2.5 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки …………………………………………………..

2.6 Параметрические уравнения прямой..................................................

2.7Уравнение прямой с угловым коэффициентом……………………..

2.8 Взаимное расположение двух прямых на плоскости………………

2.9 Угол между прямыми…………………………………………………

2.10 Расстояние от точки до прямой…………………………………….

3. Плоскость в пространстве………………………………………………

3.1 Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно ……………………………………….

3.2 Общее уравнение плоскости…………………………………………..

3.3 Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки……..

3.4 Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам…

3.5 Уравнение плоскости в отрезках на осях…………………………….

3.6 Расстояние от точки до плоскости……………………………………

3.7 Взаимное расположение двух плоскостей……………………………

4. Прямая в пространстве…………………………………………………..

4.1 Общие уравнения прямой……………………………………………..

4.2 Канонические уравнения прямой……………………………………..

4.3 Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки….

5. Кривые второго порядка…………………………………………………

5.1 Эллипс…………………………………………………………………..

5.2 Гипербола………………………………………………………………

5.3 Парабола …………………………………………………………………

6. Задачи для самостоятельного решения…………………………………..

7. Ответы к задачам для самостоятельного решения………………………

Библиографический список…………………………………………………

 

Введение

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Векторы

Вектор- направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если начало вектора, а его конец, то вектор обозначается символом или . Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается Нулевой вектор направления не имеет. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают êê . Два вектора и называются равными, если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Выделим в пространстве единичные векторы (орты), обозначаемые , имеющие такие же направления как и координатные оси соответственно. Любой вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов : . В этом случае говорят, что вектор имеет координаты в базисе . Если известны координаты точек и , то координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: Длину вектора можно найти по формуле

(1.1)

Если векторы , то и при любом действительном .

Пример1. Найти длину вектора , если

Решение. Длину вектора найдем по формуле (1.1)

Скалярное произведение и его свойства

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается Итак, по определению

 

 

где (1.2)

Если хотя бы один из векторов или равен , то скалярное произведение полагается равным 0.

Свойства:

1) переместительный закон.

2) сочетательное свойство относительно скалярного множителя

3) распределительный закон.

4)

5) Для того чтобы ненулевые векторы и были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

6) Если векторы и заданы координатами: то

(1.3)

Из формулы (1.2) найдем

 

(1.4)

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов если

Решение. Воспользовавшись свойствами скалярного произведения 1-4 и формулой (1.2), получим

Пример 3. Найти скалярное произведение векторов если

Решение. Найдем координаты векторов и . Вычислим

тогда

тогда

Воспользовавшись формулой (1.3), получим

 

Пример 4. Найти косинус угла между векторами и если

Решение. Найдем координаты векторов и :

Применяя формулу (1.4), получим

=

Пример 5. Перпендикулярны ли векторы и

Решение. Вычислим скалярное произведение ненулевых векторов .

следовательно, векторы и перпендикулярны (в силу свойства 5).