- Уравнение поверхности. Рассмотрим в пространстве некоторую поверхность. Пусть точка М(x, y, z) движется по поверхности. Координаты ее меняются, но они меняются не произвольно, они удовлетворяют некоторому условию, которое удерживает точку М на поверхности. Это условие записывается как уравнение между координатами точки М(x, y, z).
F(x, y, z) = 0.
Э тому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности.
П р и м е р. Найти уравнение сферы с центром в точке О1 (a, b, c) и радиусом R.
M(x,y, z) – произвольная точка сферы.
О1М = R, 
,
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 – уравнение сферы.
- Уравнение линии в пространстве.
Линия в пространстве задается как пересечение двух поверхностей (1) и (2).
F1(x, y, z) = 0, (1)
F2(x, y, z) = 0. (2)
Если точка принадлежит линии (L), то она одновременно принадлежит поверхности (1) и поверхности (2). Координаты ее при этом удовлетворяют системе уравнений (1) и (2).
3. Уравнение плоскости. Пусть положение плоскости в пространстве определяется заданием точкиМ0(x0, y0, z0) и нормального вектора n = {A, B, C}. Составим уравнение плоскости. Пусть точка М(x, y, z,) – произвольная точка плоскости.
М0М= {x – x0, y – y0, z – z0}.
- (1)
уравнение плоскости, проходящей через данную точку. Это уравнение преобразуется к виду Ах + By + Cz + D = 0 (2)
т.е. является линейным относительно x, y и z. Докажем, что всякое линейное уравнение определяет плоскость. Пусть (x0, y0, z0) – решение уравнения (2). Тогда
Ax0 + By0 +Cz0 + D = 0 (3)
Из уравнения (2) вычтем уравнение (3).
A(x – x0) + B(y – y0 ) + C(z – z0) = 0 – уравнение плоскости.
Следовательно, уравнение (2) определяет плоскость. А, В, С – координаты нормального вектора этой плоскости.
(1) A1x + B1y + C1z + D1 = 0, n 1 = {A1, B1, C1}
(2) A2x + B2 y + C2z + D2 = 0. n2 = {A2, B2, C2}
a) n1 ║ n2 
- условие параллельности плоскостей.
n 1 b) 
-
условие перпендикулярности плоскостей
n2
n1
n 2
с)Даны три точки, лежащие на плоскости M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3). Возьмем
на плоскости произвольную точку М(x, y, z). Векторы М1М, М1М2, М1М3 компланарны.
М1 М 
- уравнение плоскости.
М2
М3 проходящей через три точки.
П р и м е р. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (2, 0, 3) параллельно плоскости 3x + 4y - 2z + 5 = 0.
3(x – 2) + 4(y – 0) – 2(z – 3) = 0.
-
Прямая линия в пространстве. Прямая в пространстве задается как линия пересечения двух плоскостей.
A1x + B1y + C1z + D1 = 0, общие уравнения прямой.
A2x + B2 y + C2z + D2 = 0.
Пусть на прямой известна точка М0(x0, y0, z0) и направляющий вектор s = {m, n, p} – любой вектор, параллельный прямой. M(x, y, z) – произвольная точка, лежащая на прямой. Тогда
M0M ║ s, M0M = {x – x0, y – y0, z – z0 }
- канонические уравнения прямой.
Очевидно, если имеем две прямые с направляющими векторами s1 ={m1, n1, p1} и
s2 = {m2, n2 , p2}, то 
- условие параллельности двух прямых,
m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0 – условие перпендикулярности двух прямых.
- Прямая и плоскость. Рассмотрим плоскость Ax + By + Cz + D = 0, n ={A, B, C},
и прямую 
s ={m, n, p} Am + Bn + Cp = 0 – условие параллельности прямой и
n = {A, B, C} и плоскости
 |
n = { A, B, C}
s = {m, n, p} 
условие перпендикулярности прямой и плоскости.
З а д а ч и.
- Написать уравнение прямой, проходящей через точку (2, 1, 3), параллельно прямой
-
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(0, 1, -2) перпендикулярно прямой 2 x – y + 3z + 1 = 0,
x + y + 2z + 3 = 0.
Решение. A( x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0. n = {A, B, C,} = {-5, -1, 3}.
-5(x – 0) -1(y – 1) + 3(z + 2) = 0. 5x + y – 3z - 7 = 0 – ответ.
3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: А(3, 1, 4), В(-1, 6, 1), C(-1, 1, 6),
D(0, 4, -1). Найти
длину ребра АВ;
угол между ребрами АВ и AD;
площадь грани АВС;
объем пирамиды;
уравнение прямой АВ;
уравнение плоскости АВС;
уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.
D AB ={-4, 5, -3},
AD = {-3, 3, -5}
AC = {-4, 0, 2}
n
A B
O1
C
Решение.
3.1. 
3.2. 
3.3. n = 
3.4. 
3.5 
3.6. n = {10, 20, 20}, 10(x - 3) + 20(y – 1) + 20(z – 4) = 0, x + 2y + 2z - 13 = 0.
3.7. s = n = {10, 20, 20}, 
Цилиндрические поверхности.
z
M (x,y,z)
(A)
y
 |
M1(x, y) (L)
x
Пусть прямая (A) движется вдоль кривой (L), оставаясь параллельной своему первоначальному положению. Поверхность, которая при этом получается, называется цилиндрической. Рассмотрим уравнение
F(x, y) = 0. (1)
В плоскости (x, y) оно определяет линию (L). Если уравнению (1) удовлетворяют координаты точки М1(х, y), то ему удовлетворяют и координаты любой точки М(x, y, z) прямой, параллельной оси z.
F(x, y) = 0 – уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси z.
Аналогично, F(x, z) = 0 – цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси y. F(y, z) = 0 – цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси x.
Например, y2 = 2x – параболический цилиндр, с образующими, параллельными оси z.
z
y
x
