Расстояние от точки до прямой

Найдем расстояние от точки M₁(x₁,y₁) до прямой Ax + By + C = 0.

Возьмем на прямой произвольную точку M₀(x₀, y₀). Тогда расстояние d будет равно

n

М₁

d d = пр _n M₀ M₁ .

М₀

 

M₀M₁ = {x₁ – x₀, y₁ – y₀}, n = {A, B}. (M0M₁∙ n) = A(x₁ – x₀) + B(y₁ – y₀).

Но, т.к. точка М₀ лежит на прямой, то

–Ax₀ – By₀ = C. Следовательно,

Модуль ставится ввиду того, что правая часть может быть отрицательна, если точка М₁ и начало координат расположены по одну сторону от прямой.

П р и м е р 1. Дана прямая 2x - 3y +5 = 0 и точка М₀(1, -2). Найти уравнение прямой, проходящей через точку М0 а) параллельно данной прямой, b) перпендикулярно данной прямой.

a) A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0. n = {A, B} = {2, -3},

2(x – 1) -3(y + 2) = 0, 2x -3y – 5 =0 – уравнение прямой, параллельной данной.

s = {m, n} = n = {2, -3}
- уравнение прямой, перпендикулярной данной.

 

П р и м е р. Даны координаты вершин треугольника АВС. А(6,2), В(30, -5), С(12, 19). Найти:

 

1. длину стороны ВС,
2. уравнение линии ВС,

3. уравнение высоты, проведенной из точки А,

4. вычислить длину этой высоты.

1. ВС = {-18, 24} = s – направляющий вектор стороны ВС.

| BC| =

 

1. Уравнение стороны ВС

 

24x + 18y – 630 = 0, 4x + 3y – 105 = 0.

3. BC = n – нормальный вектор высоты АН.

-18 (x – 6) + 24(y -2) = 0, -18x + 24y + 60 = 0,

3x - 4y – 10 = 0 – уравнение высоты АН.

 

4. длина высоты АН

 

Кривые второго порядка.

Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0 – общее уравнение кривой второго порядка.

А, В, С ≠ 0 одновременно.

Примером уравнения кривой второго порядка является уравнение окружности.

(x – a)² + (y – b)² = R² или x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R2 = 0.

Свойства:

1. коэффициенты при х² и у² одинаковы,
2. отсутствует член с ху.

Познакомимся с другими кривыми второго порядка.

 

Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 a.

F ₁M + F₂M = 2 a - уравнение эллипса. F₂F₁ = 2 c - фокусное расстояние. 2a > 2c, a > c.

упрощая, получим каноническое уравнение эллипса:

Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = Оси координат являются осями симметрии эллипса. Пусть x ≥ 0, y Тогда

y_max= b при х = 0. При возрастании х от 0 до a у убывает от b до 0.

Гипербола.

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a.

F₂M – F₁M = . Обозначим F₂F₁ = 2c, 2 a < 2 c, a < c.

Точки пересечения с осями координат - y = 0, x = .

 

x = 0 – точек пересечения с осью оу нет.

Оси координат являются осями симметрии гиперболы

 

 

Пусть x ≥ 0, y ≥ 0. . Отсюда |x| ≥ a.

y_min= 0 при x = a, у возрастает при возрастании х. Прямые

называются асимптотами гиперболы. − сопряженная гипербола.
Парабола.

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой.

 

MF = MD, KF = p, Другие виды параболы

y² = 2px -каноническое уравнение параболы. y² = -2px x² =2py x² = -2py

Ох – ось симметрии, x ≥ 0, .