Уравнение линии на плоскости

Лекции

По дисциплине «Аналитическая геометрия»

Аналитическая геометрия.

 

Аналитическая геометрия решает задачи геометрии аналитическими средствами. Это достигается на основе метода координат. Основатель – Декарт, 1596-1650, Франция.

 

 

Метод координат.

Рассмотрим три взаимно перпендикулярных векторы i, j, k (|i| = |j| = |k | = 1).

В направлении каждого вектора проведем ось. Оx – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат.

Рассмотрим точку М и вектор ОМ = { x, y, z}.

Упорядоченная тройка чисел x, y, z – координаты точки М

M(x, y, z).

Расстояние между двумя точками.

Пусть A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂). Тогда AB = OB – OA,

 

AB = {x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ - z₁}. Из координат конца вектора вычитаем соответствующие координаты начала

.

На плоскости:

.

Рассмотренная система координат называется декартовой.

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть точка делит отрезок AB в отношении λ. Пусть A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂ z₂), Это условие можно переписать в виде

zMB

 

A

y

x

Отсюда

 

 

Например, если М – середина отрезка АВ, то λ =1, и

 

 

Уравнение линии на плоскости.

Рассмотрим точку М(х,у), лежащую на линии. Пусть точка движется по линии. Положение точки изменяется, но при этом она все время удовлетворяет некоторому условию, которое удерживает ее на линии. Это условие записывается как уравнение между координатами точки.

F(x,y) = 0 – уравнение линии на плоскости.

Уравнением линии называется уравнение F(x,y) = 0, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии.

(x, y) – текущие координаты.

П р и м е р.

Написать уравнение окружности с центром в точке О(a, b) и радиусом r.

О₁ М = r для любой точки М, принадлежащей окружности.

- уравнение окружности.

 

 

Прямая линия.

Напишем уравнение прямой, проходящей через точку M(x₀, y₀) перпендикулярно вектору

n = {A,B}.

n , n∙Mo M = 0. Следовательно,

A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0 – уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Отсюда видно, что уравнение прямой есть уравнение первой степени. Докажем, что всякое уравнение первой степени определяет прямую.

Рассмотрим уравнение Аx + By + C =0. Пусть (x₀, y₀) – решение этого уравнения.

Тогда Ax₀ + By₀ + C = 0.

Отсюда A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0. Получили уравнение прямой, проходящей через точку M(x₀,y₀) перпендикулярно вектору n = {A, B}.

k1 = k2

Уравнение прямой с угловым коэффициентом y = kx + b, k = tg φ– угловой коэффициент прямой.

Условие параллельности прямых:

.

Условие перпендикулярности:

 

 

 

Пусть прямая проходит через точку Мo(xo, yo) параллельно вектору s = { m, n }. Вектор s называется направляющим вектором прямой. M(x, y) – произвольная точка прямой.

 

Рассмотрим вектор МoM = {x – x₀, y – y₀}, M0M ║ s. Следовательно,

 

(*) − уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀ параллельно данному вектору.

 

Следствие 1. Пусть прямая проходит через точки A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂). Тогда s = { m, n }= A₁A₂ = {x₂ – x₁, y₂ – y₁}, M₀(x₀, y₀} → A(x₁, y₁).

 

Следствие 2. Уравнение (*) представляется в виде:

Очевидно, ⁿ/_m = tg φ = k – угловой коэффициент прямой.

 

y –– y0 = k (x – x0)

- уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.