Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Структура общего решения линейного однородного дифееренциального уравнения. ФСР. Определитель Вронского и его свойства

ЛДУ n-ого порядка- ур-е, линейное относительно неизвестной ф-ии и ее производных и имеет вид

a₀(x)y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+…+a_n-1(x)y’+a_n(x)y=φ(x)|: a₀(x)

φ(x)=0- ЛОУ

φ(x)≠0- ЛНОУ

y⁽ⁿ⁾+p₁(x)y⁽ⁿ^-1)+…+p_n_-1(x)y’+p_n(x)y=g(x)- (1) ур-е в приведенном виде

Для ЛОУ:

*если y₁- решение ЛОУ, то С y_1,где С- произвольная постоянная также является решением этого ур-я.

*Сумма y₁+ y₂ решений ЛОУ является решением того же ур-я.

1⁰Линейная комбинация с произвольными постоянными реш-й y₁, y₂,…, y_m ЛОУ является реш-ем того же ур-я.

*если ЛОУ (1) с действительными коэффициентами p_i(x)∈R имеет комплексное решение y(x)=u(x)+iv(x),то действительная часть этого решения Rey=u(x) и его мнимая часть Imy=v(x) в отдельности являются решениями одного и того же ур-я.

Ф-ии y₁(x), y₂(x),…, y_n(x) называются линейно зависимыми на некотором интервале (a,b), если существуют постоянные величины a1,a2,…,an≠0 такие, что для всех x интервала (a,b) справедливо тождество a₁ y₁(x)+a₂ y₂(x)+…+a_n_-1(x)y’+a_n y_n(x)=0. Если ф-ии линейно завис.,то хотя бы одна из них является линейной комбинацией остальных.

Если же тождество справедливо лишь при a1=a2=…=an=0, то ф-ии y₁(x), y₂(x),…, y_n(x) называются линейно независимыми на интервале (a,b).

*если ф-ии y₁(x), y₂(x),…, y_n(x) линейно зависимы на интервале (a,b), то определитель(о. Вронского)

W(x)=W[y₁, y₂,…, y_n]= =0 на этом интервале.

Условие линейной независимости частных решений:

* если линейно независимые ф-ии y₁(x), y₂(x),…, y_n(x) являются решениями ЛОУ (1) с непрерывными на интервале (a,b) коэффициентами p_i(x), то составленный для них определитель Вронского ни в одной точке интервала (a,b) не= 0.

Общим решением ЛОУ (1) с непрерывными на (a,b) коэффициентами p_i(x) (i=1,2,…,n) является линейная комбинация y_оо= n линейно независимых на том же интервале частных решений y_iс произвольными постоянными коэффициентами.

1⁰максимальное число линейно независимых решений ЛОУ равно его порядку.

ФСР- любые n независимых частных реш-й ЛОУ n-ого порядка.

*y_oн=y_oo+y_чн

Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

ЛНДУ решаются методом вариации произвольных постоянных. Сначала находится общее решение однородного уравнения , имеющего ту же левую часть, что и исходное неоднородное уравнение . Затем решение уравнения находится в виде , т.е. предполагается, что постоянные С явл ф-ми независимой переменной х. При этом ф-и С₁(х) и С₂(х) могут быть получены как решение системы

У_он=у_оо+у_чн

максимальное число решений уравнения равно его порядку.

общее решение

44*. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Построение фундаментальной системы решений в случае простых корней характеристического многочлена (действительных и комплексных).

Уравнение вида y'+p(x)y=f(x), где p(x), f(x)- непрерывные ф-ии на интервале a<x<b называется ЛДУ 1ого порядка.

Если f(x)= 0, то уравнение называется однородным.

Если в ЛО ур-ии y⁽ⁿ⁾+p₁(x)y⁽ⁿ^-1)+…+p_n-1(x)y’+p_n(x)y=0

Все коэффициенты pi постоянны, то его частные решения могут быть найдены в виде y=e^kx, где k- постоянная. Подставляя в ур-е

(kⁿ+p₁kⁿ^-1+….+p_n-1k+ p_n) e^kx=0

Сокращая на e^kxполучаем так наз. Характеристическое ур-е

kⁿ+p₁kⁿ^-1+….+p_n_-1k+ p_n =0

Это ур-е n-ой cтепени определяет те значения k, При которых y= e^kx является решение исходного ДУ с постоянными коэф-ами.

1.k₁, k₂,…,k_n –вещественные и различные

ФСР: e^k¹^x, e^k²^x,…, e^knx

2. k₁= k₂=…=k_m=k^~,

k^~- m -кратный корень ур-я, а все остальные n- m корней различные

ФСР: e ^k^~ ^x,x e ^k^~ ^x,…, x^m^-1 e ^k^~ ^x, e ^km⁺¹ ^x, e ^kⁿ ^x

3. k₁=α+iβ, k₂= α-iβ, k₃=γ+iδ, k₄= γ-iδ, остальные корни вещественные

ФСР: e^α^xcosβx, e^α^xsinβx, e^γ^xcosδx, e^γ^xsinδx, e^k⁵^x,…, e^knx

4. Если k₁=α+iβ- m-кратный корень характерестического ур-я (m≤n/2), то k₂= α-iβ также будет m-кратным корнем

ФСР: e^α^xcosβx, e^α^xsinβx, xe^α^xcosβx, xe^α^xsinβx,x^m^-1 e^α^xcosβx, x^m^-1 e^α^xsinβx,…, e^k²^m⁺¹^x,…, e^knx

Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристическгог многочлена (действительных и комплексных).

1. k₁= k₂=…=k_m=k^~,

k^~- m -кратный корень ур-я, а все остальные n- m корней различные

ФСР: e ^k^~ ^x,x e ^k^~ ^x,…, x^m^-1 e ^k^~ ^x, e ^km⁺¹ ^x, e ^kⁿ ^x

2. Если k₁=α+iβ- m-кратный корень характерестического ур-я (m≤n/2), то k₂= α-iβ также будет m-кратным корнем

ФСР: e^α^xcosβx, e^α^xsinβx, xe^α^xcosβx, xe^α^xsinβx,x^m^-1 e^α^xcosβx, x^m^-1 e^α^xsinβx,…, e^k²^m⁺¹^x,…, e^knx