Гипербола. Вывод уравнения

Модуль №1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

Тема 1.4. Элементы аналитической геометрии в пространстве и на плоскости.

 

Учебные вопросы:

1. Прямая на плоскости.

2. Кривые второго порядка.

Прямая на плоскости.

Среди различных уравнений прямой на плоскости наиболее распространенными можно считать следующие.

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид

, (1.1)

где A, B, C – вещественные числа (неравенство означает, что коэффициенты A и B не обращаются в нуль одновременно). Вектор называется вектором нормали и перпендикулярен данной прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом представляет собой уравнение, разрешенное относительно y:

. (1.2)

Здесь k – угловой коэффициент прямой (тангенс угла, который прямая образует с положительным направление оси OX).

Уравнение прямой в отрезках записывается в виде

, (1.3)

где a и b – соответствующие координаты точек пересечения прямой с осью OX (точка A(a;0)) и OY (точка B(0;b)).

Например, прямая проходит через точки A(1;0) и B(0;-2); прямая через точки A(1/3;0) и B(0;1/5); (так как уравнение равносильно уравнению .

Каноническое уравнение прямой имеет вид , а параметрическое –

, (1.4)

где - точка, лежащая на прямой, а - направляющий вектор прямой.

Пример 1.1. Дана прямая . Выписать ее вектор нормали, найти угловой коэффициент, построить прямую на плоскости.

Решение. Сравнивая уравнение данной прямой с (1.2), замечаем, что в нашем случае (коэффициент при x), (коэффициент при y), поэтому . Чтобы найти угловой коэффициент, исходное уравнение необходимо разрешить относительно y:

; . (1.5)

Сравнивая с уравнением (1.2), замечаем, что k=3/5. Как известно, для построения прямой необходимо знать координаты двух точек, через которые проходит прямая. Задавая значения x, из (1.5) можно найти соответствующие значения y: ; . Итак, остается провести прямую, проходящую через точки A(0; 2/5), B(1; 1).

Пример 1.2. Прямая задана параметрическим уравнением . Выписать направляющий вектор данной прямой и координаты двух точек, лежащих на ней, а также координаты ее вектора нормали.

Решение. В соответствии с уравнением (1.4) , а точка A(-2;0) лежит на прямой. Чтобы найти координаты второй точки, лежащей на прямой, зададим какое-нибудь значение параметра t. В частности, при t=1 x=-1, y=-3, т.е. точка B(-1;-3) принадлежит прямой. Вектор нормали связан с общим уравнением прямой, а чтобы перейти к нему, необходимо в одном из заданных уравнений выразить t через x и полученное выражение подставить во второе уравнение. Например, из первого уравнения , поэтому . Окончательно имеем: ,

Пример 1.3. Привести к уравнению в отрезках прямую, заданную общим уравнением .

Решение. Проведем преобразования общего уравнения, чтобы привести его к виду (1.3).

.

Последнее уравнение и есть искомое уравнение в отрезках.

Угол j между прямыми, заданными уравнениями с угловым коэффициентом (, ), определяется с помощью формулы

. (1.6)

Из (1.6) вытекают условия параллельности ( ) и перпендикулярности двух прямых ().

Пример 1.4. Выбрать из прямых (I) – (V) параллельные и перпендикулярные, определить угол между прямыми (I) и (VI):

(I) ; (II) ; (III) ;

(IV) ; (V) ; (VI) .

Решение. Сначала для каждой прямой найдем угловой коэффициент:

(I): ;

(II): ;

(III) ;

(IV) ;

(V) ;

(VI) .

Поскольку , , получаем, что прямые (I) и (III), (II) и (V) параллельны. С другой стороны, , а потому прямые (I) и (II) перпендикулярны (следовательно, перпендикулярны и прямые (III) и (II), (I) и (V), (III) и (V)). Чтобы найти тангенс угла между прямыми (I) и (VI), воспользуемся формулой (8): . Но тогда .

Составление уравнений прямых. Рассмотрим основные типы возникающих задач.

1) Записать уравнение прямой с известным угловым коэффициентом , проходящей через заданную точку . Ответом является уравнение

. (1.7)

Пример 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2,-3) и образующей с положительным направлением оси OX угол 120⁰.

Решение. Координаты точки известны, а угловой коэффициент - это тангенс угла наклона, т.е. . Подставляя в (1.7), получаем: или .

2) Записать уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно прямой . Для решения используем уравнение (1.7) и учтем, что угловые коэффициенты параллельных прямых совпадают:

. (1.8)

3) Записать уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно прямой . Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением , поэтому . Остается подставить это в (1.8) и получить уравнение:

. (1.9)

Пример 6. Составить уравнения прямых, проходящих через точку
A(2,-3) параллельно и перпендикулярно прямой .

Решение. Так как , то угловой коэффициента данной прямой . Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через A(2,-3) параллельно данной прямой, воспользуемся уравнением (1.8): или . Результат можно проверить, подставив в полученное выражение координаты заданной точки: (если получили тождество, как в данном примере, уравнение правильное).

Аналогично действуем при составлении уравнения перпендикулярной прямой, только используем (1.9): , , и окончательно . Проверка: .

4) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки , , имеет вид

. (1.10)

Пример 7. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(3;3), B(-1;5).

Решение. Подставляя в (1.10) координаты данных точек, получаем:

.

Собирая теперь все в одну сторону, приходим к уравнению . Проверить результат можно, подставляя в него поочередно координаты точек (как при проверка в примере 6): , .

Замечание. В некоторых задачах нужно найти точку пересечения заданных прямых. Для этого решают систему уравнений, задающих эти прямые.

Пример 8. В треугольнике с вершинами O(0;0), A(3;3), B(-1;5) найти уравнения стороны AB, медианы AE и высоты OK, а также длину высоты OK.

Решение. Уравнения стороны AB было получено при решении примера 6: .Далее, по определению медианы треугольника точка E – середина отрезка BO, поэтому ее координаты можно найти по формуле (1.3):

, .

Таким образом, теперь надо составить уравнение прямой, проходящей через точки A(3;3) и E(-1/2;5/2). Подставляем их координаты в (1.10):

.

Итак, уравнение медианы AE имеет вид .

Далее, высота OK – это прямая, проходящая через вершину O перпендикулярно прямой AB. Воспользуемся уравнением (11). Угловой коэффициент прямой AB находим из уравнения : , поэтому . Тогда имеем: , и уравнение высоты OK .

Теперь найдем координаты K – точки пересечения построенной высоты и прямой AB. Решаем систему уравнений:

.

Итак, . В силу (2.1b) .

 

Кривые второго порядка

 

Определение 2.1. Всякая линия, которая в некоторой системе координат описывается уравнением второй степени относительно переменных х и у, называется кривой второго порядка.

В самом общем виде уравнение кривой второго порядка таково:

(2.1)

где А, В, С, D, E, F — действительные числа, причём А, В, С одновременно не равны нулю.

Рассмотрим, прежде всего, конкретные виды кривых второго порядка и уже затем вернемся к уравнению (2.1).

ЭЛЛИПС. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ

И ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ

Определение 2.2. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 a.

Для вывода уравнения эллипса введем систему координат: ось абсцисс проведем через фокусы и , а ось ординат ‒ перпендикулярно оси абсцисс через середину расстояния между ними. Обозначим через 2с ‒ расстояние между фокусами. Тогда (рис. 1) фокусы имеют координаты . Пусть ‒текущая точка эллипса.

Рис. 1

 

Расстояние называются радиусами- векторами точки и вычисляются очень просто:

, (2.2)

Из определения эллипса следует, что

, (2.3)

а простой подсчет показывает, что

(2.4)

Разделив (2.4) на (2.3), имеем:

. (2.5)

Складываем и вычитаем (2.3) с (2.5). Результатом являются формулы, связывающие радиус-векторы текущей точки эллипса с ее абсциссой и заданными параметрами:

(2.6)

Приравнивая в формулах (2.2) и (2.6), имеем:

(2.7)

Из условия 2а > 2с (сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны) следует, что а > с, разность - положительна. Обозначив , получаем из (2.7):

.

После деления обеих частей равенства на , приходим к каноническому уравнению эллипса

(2.8)

Исследование формы и построение эллипса.

1) Если точка (х; у) лежит на эллипсе, то точка (х; -у) тоже лежит на эллипсе. Это означает, что эллипс симметричен относительно оси абсцисс. Аналогично показывается, что эллипс симметричен и относительно оси ординат.

2) Находим точки пересечения эллипса с координатными осями: при у = 0 имеем . Значит, эллипс пересекает ось абсцисс в точках и . Эти точки называются вершинами эллипса. Если х = 0, то , и мы отмечаем еще две вершины эллипса и .

3) Выражая из уравнения эллипса у явно через х, получаем . Область определения этой функции , т. е. эллипс не выходит за пределы этой полосы. Рассуждая подобным образом, увидим, что эллипс не выходит и за пределы полосы . Значит, весь эллипс находится в прямоугольнике .

4) В первом квадранте . Из этого равенства следует, что с увеличением х от 0 до а, у убывает от b до 0.

Принимая во внимание все сказанное, делаем вывод о форме эллипса (рис. 2). Механически эллипс можно построить таким образом: нить длиной 2а закрепить в фокусах и , в точку М поместить острие карандаша и, натянув нить, описать точкой М эллипс.

Полагая в каноническом уравнении эллипса , получаем окружность радиуса а с центром в начале координат. Значит, окружность ‒частный случай эллипса.

Рис. 2

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ЭЛЛИПСА

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси

.

Из равенства или следуют два важных соотношения

и ,

которые показывают, что эксцентриситет эллипса характеризует степень сжатия (растяжения) эллипса вдоль оси Оу: чем меньше , тем больше отношение и, значит, эллипс более вытянут вдоль оси Оу; минимальное значение эксцентриситета соответствует тому, что , т. е. равенство нулю эксцентриситета отвечает случаю окружности. Формулы (2.6) позволяют установить связь радиусов-векторов текущей точки с эксцентриситетом:

. (2.9)

 

ГИПЕРБОЛА. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых разность расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 а.

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ

Систему координат выбираем, как и в предыдущем случае (при выводе уравнения эллипса). Фокусы имеют те же координаты: , но теперь 2с>2 а (длина любой их сторон треугольника больше разности длин двух других сторон) и через обозначим величину .

Далее, для текущей точки гиперболы, расположенной справа от оси Оу, имеем (рис.3):

Рис. 3

, .

И тогда

(2.10)

Получили каноническое уравнение гиперболы.

Этому же уравнению удовлетворяют координаты любой точки гиперболы, расположенной слева от оси ординат.

ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ГИПЕРБОЛЫ

1) Если точка (х; у) лежит на гиперболе, то на гиперболе лежат точки (-х; у)и (х; -у) и (-х; -у). Это значит, что обе координатные оси являются осями симметрии, а начало координат ‒ центром симметрии гиперболы или просто ее центром. Ось абсцисс называется фокальной осью гиперболы (или действительной осью).

2) Находим точки пересечения гиперболы с осями координат. При у = 0 получаем . Точки и называются действительными вершинами гиперболы. Если х = 0, то . Это означает, что гипербола не имеет точек пересечения с осью Оу; тем не менее точки и имеют большое значение для построения гиперболы. Их называют мнимыми вершинами гиперболы.

3) Выразим у явно через х: . Эта функция определена тогда и только тогда, когда , т. е. для и для . Это говорит о том, что гипербола имеет две ветви: левую и правую.

4) В первом квадранте . Когда то, , возрастая.

5) Прямая является асимптотой гиперболы. Действительно,

Из соображений симметрии следует, что прямая тоже является асимптотой гиперболы.

ПОСТРОЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ

Прежде всего, построим асимптоты гиперболы. С этой целью изобразим прямоугольник со сторонами 2 а и 2 b (рис. 4).

Рис. 4

Диагонали этого прямоугольника и есть асимптоты. Теперь в первом квадранте от вершины А₁ график гиперболы возрастая стремится к , приближаясь к асимптоте. В остальных квадрантах график гиперболы строится на основе симметрии.

Если , гипербола называется равнобочной.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния

к длине действительной оси:

Т. к. с > а, то (в отличие от эксцентриситета эллипса).

Из соотношения следует, что

и ,

откуда ясно, что эксцентриситет характеризует степень сжатия (растяжения) гиперболы вдоль оси Оу.

 

 

ПАРАБОЛА. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной прямой, называемой директрисой и от данной точки, называемой фокусом.

Для составления уравнения параболы выбираем систему координат: ось абсцисс проводим через фокус перпендикулярно директрисе, ось ординат ‒ перпендикулярно оси Ох через середину расстояния р между фокусом и директрисой (рис. 5).

Рис. 5

Величина р называется параметром параболы.

Пусть М(х; у) ‒текущая точка параболы, ‒ ее фокус, ‒ основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Тогда

.

По определению параболы

т. е.

.

Отсюда

т. е.

, (2.11)

Это и есть каноническое уравнение параболы.

 

ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ И ПОСТРОЕНИЕ ПАРАБОЛЫ

1) Если точка (х; у) лежит на параболе, то точка (х; -у) тоже лежит на параболе. Значит, парабола симметрична относительно оси Ох, т. е. ось Ох ‒ ось симметрии параболы.

2)О(0; 0) ‒ единственная точка пересечения параболы с координатными осями. Эта точка называется вершиной параболы.

3) Выразив у явным образом через х, имеем:

.

Учитывая, что р > 0, делаем вывод, что область определения параболы: . Это говорит о том, что парабола целиком расположена в правой полуплоскости.

4) Формула (верхняя часть параболы) говорит о том, что с ростом х: от 0 до у тоже растет от 0 до . Парабола имеет вид, изображенный на рис. 5.