ЗАДАЧІ І ВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
ВИЩА МАТЕМАТИКА
ТЕМА 1. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ І АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ
РОЗДІЛ І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня.
Обчислити визначники
Розв`язати системи по правилу Крамера.
1.27.
| 1.30.
|
1.28.
| 1.31
|
1.29.
| 1.32.
|
Розв`язати системи методом Гауса
(метод послідовного виключення невідомих)
1.33.
| 1.34.
|
1.35.
| 1.36.
|
1.37.
| 1.38.
|
Обчислити ранг матриць з допомогою елементарних перетворень
1.47.
| 1.48.
|
1.49.
| 1.50
|
Обчислити ранг матриць методом облямування
1.51.
| 1.52.
|
1.53.
| 1.54.
|
1.55.
| 1.56.
|
1.57.
| 1.58.
|
1.59.
|
1.60
|
1.63. Знайти добуток 
на добуток 
двох матриць
1.64. Знайти добуток матриць А×В
1.65. Знайти добуток матриць АВ і ВА, якщо
1.66. Знайти значення матричного многочлена
2А2+3А+5Е при 
, якщо Е - одинична матриця третього порядку.
Знайти обернені матриці
1.75. 
1.76. 
1.77. 
1.78. 
1.79. 
1.80. 
Розв’язати матричнi рiвняння
1.81. 
1.82. 
1.83. 
1.84. 
Розв’язати системи, представивши їх у вигляді матричних рівнянь
1.85. 
1.86. 
1.87. Для виробництва промислової продукції створено 3 фірми, кожна з яких випускає один вид продукції. В таблиці задані:
коефіцієнти прямих витрат аik, тобто кількість одиниць продукції і -ї фірми, яка використовується як проміжний продукт для випуску одиниці продукції k -ї фірми;
кількість одиниць yi продукції фірми, розрахованих на реалізацію (кінцевий продукт).
Визначити:
а) коефіцієнти повних витрат;
б) валовий випуск (план) для кожної фірми;
в) коефіцієнти непрямих витрат.
| Варіант | Фірми | Прямі витрати аik | Кінцевий продукт | ||
| І | ІІ | ІІІ | yi | ||
| І | 0.1 | 0.1 | |||
| ІІ | 0.3 | 0.1 | |||
| ІІІ | 0.1 | 0.2 | |||
| І | 0.2 | 0.1 | |||
| ІІ | 0.3 | 0.1 | |||
| ІІІ | 0.2 | 0.1 | |||
| І | 0.2 | 0.2 | |||
| ІІ | 0.3 | 0.1 | |||
| ІІІ | 0.1 | 0.2 | 0.1 | ||
| І | 0.1 | 0.2 | |||
| ІІ | 0.2 | 0.1 | 0.3 | ||
| ІІІ | 0.1 | ||||
| І | 0.1 | 0.3 | |||
| ІІ | 0.1 | 0.1 | |||
| ІІІ | 0.2 | 0.2 | |||
| І | 0.2 | 0.1 | |||
| ІІ | 0.2 | 0.1 | |||
| ІІІ | 0.1 | 0.1 | |||
| І | 0.3 | 0.1 | |||
| ІІ | 0.3 | 0.2 | 0.1 | ||
| ІІІ | 0.1 | 0.2 | |||
| І | 0.2 | 0.1 | 0.1 | ||
| ІІ | 0.2 | 0.1 | |||
| ІІІ | 0.1 | 0.1 |
РОЗДІЛ ІІ. Векторна алгебра
Дослідити на лінійну залежність систему векторів.
1.92.
1.93.
1.94.
1.95.
Знайти координати вектора 
в базисі 
, якщо він заданий в базисі 
.
1.96.
1.97.
1.98.
Написати розклад вектора по векторам 
1.99.
1.100.
1.101.
Колінеарні вектори і, побудовані на векторах і?
1.117.
1.118.
1.119.
Знайти косинус кута між векторами і.
1.120.
А(1, -2, 3),В(0, -1, 2), С(3, -4, 5)
1.121.
А(0, -3, 6),В(-12, -3, -3), С(-9, -3, -6)
1.122.
А(-1, 2, -3),В(3, 4, -6), С(1, 1, -1)
Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах 
і 
1.123.
1.124.
1.125.
Перевірити на компланарність вектори 
1.126.
1.127.
1.128.
Обчислити об’єм тетраедра з вершинами в точках А1, А2, А3, А4 та його висоту, опущену із вершини А4 на грань А1А2А3
1.129. А1(1, 3, 6), А2(2, 2, 1), А3(-1, 0, 1), А4(-4, 6, -3)
1.130. А1(-4, 2, 6), А2(2, -3, 0), А3(-10, 5, 8), А4(-5, 2, -4)
1.131. А1(7, 2, 4), А2(7, -1, -2), А3(3, 3, 1), А4(-4, 2, 1)
РОЗДІЛ ІІІ. Аналітична геометрія
1.176 Записати рівняння кола з центром у точці 
і з радіусом, що дорівнює 2. Побудувати це коло.
1.177 Записати рівняння кола, яке проходить через точки А(5;7) і В(-2;4), якщо центр його лежить на прямій 4х+3у-18=0.
1.178 Записати канонічне рівняння еліпса, що проходить через точку М(5;0), якщо фокальна відстань дорівнює 6.
1.179 Довести, що рівняння 36х2+100у2-3600=0 є рівнянням еліпса. Знайти координати фокусів та фокальну відстань.
1.180 Записати рівняння еліпса, фокусами якого є точки 
, а велика вісь дорівнює 6.
1.181 Записати рівняння еліпса з фокусами на осі ох, якщо відстань між фокусами дорівнює 12, а ексцентриситет Е=0,6.
1.182 Записати рівняння еліпса з фокусами на осі ох, якщо він проходить через точки 
1.183 Побудувати еліпси 
і 
. Для кожного еліпса обчислити ексцентриситет.
1.184 Знайти координати точок перетину еліпса 
з прямою х+2у-14=0.
1.185 Яку лінію визначає рівняння 7х2-9у2=63?
1.186 Знайти напівосі, координати фокусів та ексцентриситет гіперболи, що задані рівнянням 4х2-5у2=20. Обчислити довжини фокальних радіусів точки М(-5;4).
1.187 Записати рівняння асимптот та директрис гіперболи 9х2-25у2=225.
1.188 Гіпербола проходить через точки М 
та N 
. Знайти її канонічне рівняння.
1.189 Написати рівняння дотичних до гіперболи х2-4у2=16, проведених з точки А(0;-2).
1.190 Знайти відстань від фокуса гіперболи 
до її асимптот та кут між асимптотами.
1.191 Написати рівняння параболи:
1) що проходить через точки (0;0) та (-1;2) і симетрична відносно осі ох;
2) проходить через точки (0;0) та (2;4) і симетрична відносно осі оу.
1.192 Знайти координати фокуса та рівняння директриси параболи у2=20х. Обчислити відстань точки М 
до фокуса.
1.193 Скласти рівняння параболи, що симетрична відносно осі ох, яка проходить через точки М(4;-5) та N (6;15).
1.194 На параболі у2=6х знайти точку М, фокальний радіус якої дорівнює 4,5.
1.195 Написати рівняння дотичних до параболи у2=8х, проведених з точки А(0;-2).
1.196 Скласти параметричне рівняння кола, якщо точка М(х;у) описує коло радіуса r з центром на початку координат.
1.197 Дано рівняння еліпса 9х2+16у2=144. Записати його параметричне рівняння.
1.198 Дано параметричні рівняння еліпса х=5cost, y=3sint, t Î[0;2p). Записати його канонічне рівняння.
1.205 Знайти координати центра і радіус сфери, заданої рівнянням
x 2+ y 2+ z 2- x +2 y +1=0
1.206 Скласти рівняння сфери, яка проходить через точки А (1;2;-4), В (1;-3;1) і С (2;2;3), якщо центр знаходиться в площині хоу.
1.207 По якій лінії перетинається конус x 2+ y 2-2 z 2=0 з площиною у =2?
1.208 Привести до канонічного вигляду рівняння x 2- y 2-4 x +8 y -2 z =0.
1.209 Яка поверхня визначається рівнянням 4 x 2- y 2+4 z 2-8 x +4 y +8 z +4=0?
1.210 Який геометричний зміст рівняння х 2+ y 2+ z 2- yz - xz - ху =0?
1.142. Визначити площу S та периметр трикутника, утвореного прямою 3 х -4 у -12=0 і осями координат.
1.143. Записати рівняння прямої, що проходить через початок координат і точку (-1;8).
1.144. Дано вершини трикутника А(1;-2), В(5;4) і С(-2; 0). Записати рівняння бісектриси його внутрішнього кута при вершині А.
1.145. Записати рівняння прямих, на яких лежать катети рівнобічного прямокутного трикутника, знаючи рівняння прямої, на якій лежить гіпотенуза 3 х - у+ 5=0 і вершину кута С (4;-1).
х -2 у -6=0 і 2 х+у -7=0.
1.146. Встановити, які з пар прямих паралельні, співпадають або перетинаються, в останньому випадку знайти їх точку перетину:
1) х + у -3=0 і 2 х +3 у -8=0
2) у = х +5 і 2 х -2 у +3=0
3) у= 
і 
1.147. Визначити точку, симетричну з точкою М (8;-9) відносно прямої, яка проходить через точки А (3;-4) і В (-1;-2).
1.148. Записати рівняння прямих, на яких лежать катети рівнобічного прямокутного трикутника, знаючи рівняння прямої на якій лежить гіпотенуза 3 х - у+ 5=0 і вершину прямого кута С (4;-1).
Обчислити величину кута між прямими:
1) у =3 х і у =-2 х +5;
2) у =4 х- 7 і у = 
+2;
3) у =5 х -3 і у =5 х +8.
1.149. Основа рівнобедреного трикутника лежить на прямій х- 2 у =0, а одна з бічних сторін на прямій х+у -3=0. Записати рівняння прямої, на якій лежить друга бічна сторона, знаючи, що вона проходить через точку (1;-1).
1.150. Записати рівняння прямої, паралельної і рівновіддаленої від двох паралельних прямих х+у -1=0 і х+у+ 13=0.
1.151. Записати рівняння прямої, на якій лежить перпендикуляр, встановлений у точці перетину прямих 4 х+ 3 у -5=0 і 8 х- 5 у +23=0, до першої прямої.
1.152. Записати рівняння прямої, на якій лежать бісектриси кутів між прямими
3 х- 4 у+ 7=0 і 5 х+ 12 у -1=0.
1.153. При яких значеннях параметра “ а ” пряма (а +2) х +(а 2+9) у +3 а 2-8 а +5=0:
1) паралельна осі Ох;
2) паралельна осі Оу;
3) проходить через початок координат?
1.154. Записати рівняння прямих, на яких розміщені сторони трикутника АВС, знаючи координати вершини А (1;3) та рівняння двох його медіан у -1=0 і х- 2 у+ 1=0.
1.155. Записати рівняння сторін трикутника АВС, якщо задано координати однієї із його вершин В(-4;-5) і рівняння прямих, на яких лежать дві його висоти: 5 х+ 3 у -4=0 і 3 х+ 8 у+ 13=0.
1.156. Дві сторони квадрата лежать на прямих 5 х- 12 у -65=0, 5 х- 12 у +26=0.
Обчислити площу квадрата.
1.157. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку М (2; 3; -1) паралельно площині 5 х -3 у +2 z -10=0.
1.158. Знайти довжину перпендикуляра, який опущений із точки М0 (2; 3; -5) на площину 4 х -2 у +5 z -12=0.
1.159. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку Р(2; 0; -1) і Q(1; -1; 3) перпендикулярно площині 3 х +2 у-z+ 5=0.
1.160. Знайти рівняння площини, яка проходить через початок координат і через точки Р (4; -2; 1) і Q (2; 4; -3).
1.161. Знайти рівняння площини, яка проходить через лінію перетину площин х +5 у+ 9 z+ 13=0, 3 х - у- 5 z+ 1=0 і через точку М (0; 2; 1).
1.162. Скласти рівняння площини, яка проходить через лінію перетину площин 2х-у-12 z- 3=0 і 3 х + у- 7 z- 2=0 і перпендикулярно площині х +2 у+ 5 z -1=0.
1.163. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М (0; 2; 1) і паралельно векторам 
і 
.
1.164. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку N (5; -1; -3) і паралельно прямій
1.165. Обчислити відстань між паралельними прямими 
; 
.
1.166. Задані точки А (-1; 2; 3) і В (2; -3; 1). Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (3; -1; 2) і паралельна вектору 
.
1.167. Знайти кут між прямими
і 
1.168. Задані точки А (1; 1; 1), В (2; 3; 3) і С (3; 3; 2). Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку А і перпендикулярно вектором і 
.
1.169. Знайти рівняння площини, яка проходить через пряму 
і перпендикулярно площині: 3 х + у-z+ 2=0.
1.170. Знайти рівняння проекції прямої 
на площину 2 х +3 у-z- 5=0.
