ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
(линейные образы)
Задача 1
а) Найти параметрические уравнения прямой , проходящей через точку параллельно вектору .
б) При каком значении параметра t точка принадлежит этой прямой?
в) Принадлежит ли точка этой прямой?
г) Построить данную прямую.
Задача 2
а) Составить параметрические уравнения прямой , проходящей через точки и .
б) Используя параметр, найти координаты точек C и D, делящих отрезок на три равные части.
Задача 3
Построить плоскости и указать особенности их расположения:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
Задача 4
а) Составить уравнение плоскости , которая проходит через точку и имеет нормальный вектор .
б) Принадлежит ли этой плоскости точка ?
Задача 5
Cоставить уравнение плоскости , проходящей через три точки , и .
Задача 6
Составить уравнение плоскости , проходящей через точку и прямую .
Задача 7
Составить уравнение плоскости , проходящей через две параллельные прямые и .
Задача 8
Составить уравнение плоскости , проходящей через точки и параллельно вектору .
Задача 9
Составить уравнение плоскости , проходящей через две точки и перпендикулярно плоскости .
Задача 10
Составить уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости .
Задача 11
При каком значении параметра a плоскости и будут перпендикулярны?
Задача 12
При каких значениях параметров a и b плоскости и будут параллельны?
Задача 13
Найти точку пересечения прямой и плоскости .
Задача 14
Найти угол между прямой и плоскостью .
Задача 15
Найти проекцию точки на плоскость .
Задача 16
Найти проекцию точки на прямую .
Задача 17
Дана прямая . Найти угловой коэффициент этой прямой и отрезок, отсекаемый ею на оси ординат. Построить эту прямую.
Задача 18
Дана прямая и точка . Составить уравнение:
а) прямой ,проходящей через точку A параллельно прямой ;
б) прямой , проходящей через точку A перпендикулярно прямой .
Задача 19
Даны вершины , и треугольника ABC. Составить:
а) уравнение стороны BC;
б) уравнение высоты AH;
в) уравнение медианы AD.
Задача 20
Найти точку, симметричную точке относительно прямой .
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Решение задачи 1
а) В данной задаче известны направляющий вектор прямой и точка . Используя материал раздела «Параметрические уравнения прямой в » (см., в частности, формулу (42) из лекции 10), получаем:
.
б) Подставляя в полученные параметрические уравнения прямой вместо , и соответствующие координаты точки B, имеем:
.
Таким образом, на прямой точке B отвечает параметр .
в) Подставим теперь в уравнения прямой вместо , и координаты точки C:
.
Таким образом, не существует единого числа t, при котором координаты точки C удовлетворяли бы всем уравнениям прямой . Следовательно, точка C не принадлежит прямой .
Решение задачи 2
а) Решение этой задачи повторяет решение примера 21 из лекции 10.
Направляющий вектор прямой можно вычислить следующим образом: .
б) Сначало проведем одно общее рассуждение. Пусть — точка на прямой (заданной уравнениями (42) из лекции 10), соответствующая значению параметра, а соответствует значению . Вычислим расстояние между этими точками. Имеем:
.
Таким образом, расстояние между двумя точками на пропорционально разности соответствующих значений параметра.
Вернемся теперь к нашей конкретной прямой. Ясно, что точке соответствует значение параметра , а точке — , причем . Поэтому для точки :
,
а для точки :
.
Решение задачи 3
а) Построим плоскость в отрезках на осях (это всегда можно сделать, если уравнение плоскости полное, то есть в нем присутствуют все три переменные и свободный член). Построение проводится так же, как и построение плоскости в примере 31 из лекции 12. Найдем точки пересечения , и данной плоскости с координатными осями , и :
,
,
.
б) Построим плоскость (см. также построение плоскости в примере 31 из лекции 12):
,
,
.
в) Построим плоскость (см. также построение плоскости в примере 31 из лекции 12):
,
,
.
Полученные в первых двух случаях противоречия говорят о том, что наша плоскость не пересекается с осями и , то есть параллельна им. Проведя из точки отрезки и , параллельные осям и , а затем, соединяя точки и , получаем треугольник , принадлежащий искомой плоскости:
г) Построим плоскость . Ясно, что эта плоскость проходит через начало координат и не имеет других точек пересечения с осями координат. Найдем еще две точки, лежащие на данной плоскости:
,
.
Соединяя точки , и отрезками прямой, получаем треугольник , принадлежащий искомой плоскости:
д) Построим плоскость . Ясно, что эта плоскость проходит через начало координат . Найдем еще две точки, лежащие на данной плоскости:
,
.
Соединяя точки , и отрезками прямой, получаем треугольник , принадлежащий искомой плоскости:
Ясно, что построенная плоскость содержит ось .
Решение задачи 4
а)
Решение данной задачи изложено в разделе «Построение плоскости по точке и нормальному вектору» в лекции 10. Применяя формулу (44) из той же лекции, получаем:
.
б) Для того, чтобы выяснить, принадлежит ли точка плоскости , нужно координаты этой точки подставить в полученное в предыдущем пункте уравнение этой плоскости:
Следовательно, точка B не принадлежит плоскости .
|
Введем текущую точку плоскости и вычислим векторы , и , принадлежащие данной плоскости:
Ясно, что эти векторы линейно зависимы, следовательно .
Раскрывая определитель и упрощая, получаем общее уравнение плоскости :
.
Заметим, что данную задачу можно решить, используя формулу (45) раздела «Уравнение плоскости по точке и двум векторам» (см. лекцию 10). Проделайте это самостоятельно!
Решение задачи 6
Анализируя параметрические уравнения заданной прямой , приходим к выводу, что эта прямая проходит через точку с координатами , которую мы обозначим через , и имеет направляющий вектор , который мы обозначим через . Поместим начало этого вектора в точку . Рассмотрим также вектор :
Запишем уравнение плоскости по точке и двум векторам и (см. формулу (45) из лекции 10):
.
Решение задачи 7
Эта задача решается также, как пункт 3) примера 23 из лекции 10.
Из параметрических уравнений параллельных прямых и получаем:
1) точку ;
2) точку ;
3) общий направляющий вектор этих прямых.
Запишем уравнение плоскости по точке и двум векторам и (см. формулу (45) из лекции 10):
.
Решение задачи 8
Рассмотрим точку , а также векторы и . Так же, как и в предыдущей задаче, записываем уравнение плоскости по точке и двум векторам и (см. формулу (45) из лекции 10):
.
Решение задачи 9
Из теоремы 19 (см. лекцию 11) вытекает, что — нормальный вектор плоскости :
Ясно, что вектор принадлежит плоскости . Рассмотрев точку , а также векторы и , получим, как и в предыдущих задачах, искомое уравнение плоскости :
.
Решение задачи 10
Ясно, что нормальный вектор плоскости является одновременно нормальным вектором искомой плоскости , то есть по теореме 19 (см. лекцию 11) . Используя уравнение плоскости по точке и нормальному вектору (см. формулу (44) из лекции 10), имеем:
.
Чертеж к решению данной задачи рекомендуется построить самостоятельно.
Решение задачи 11
Из теоремы 19 лекции 11 вытекает, что — нормальный вектор плоскости , а — нормальный вектор плоскости . Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны их нормальные векторы. Итак:
.
Решение задачи 12
Из теоремы 19 лекции 11 вытекает, что — нормальный вектор плоскости , а — нормальный вектор плоскости . Ясно, что две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда коллинеарны их нормальные векторы. Итак:
.
Решение задачи 13
Перед решением этой задачи рекомендуется изучить теорему 20 и ее доказательство (см. лекцию 11).
Для нахождения общей точки прямой и плоскости нужно решить систему уравнений, составленную из параметрических уравнений прямой и уравнения плоскости :
.
Таким образом, точка есть искомая точка пересечения прямой и плоскости.
Решение задачи 14
Рассмотрим векторы (направляющий вектор прямой ) и (нормальный вектор плоскости ):
Ясно, что — угол между и . Так как , где — угол между векторами и , то
.
Следовательно, .
Решение задачи 15
Найдем точку , являющуюся проекцией точки на плоскость .
1) Запишем уравнение прямой , проходящей через точку A перпендикулярно плоскости . Так как в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости , который в силу теоремы 19 из лекции 11 равен
, то параметрические уравнения имеют вид: .
2) Найдем точку пересечения прямой и плоскости . Так же, как и в доказательстве теоремы 20 из лекции 11, решим систему уравнений:
.
Таким образом, То есть, — проекция точки на плоскость .
Решение задачи 16
Найдем проекцию точки на прямую .
1) Запишем уравнение плоскости , проходящей через точку A перпендикулярно прямой . Так как в качестве нормального вектора плоскости можно взять направляющий вектор прямой , который равен , то (см. формулу (44) из лекции 10).
2) Найдем точку пересечения прямой и плоскости . Решим систему уравнений:
.
Получаем: То есть точка — проекция точки на прямую .
Решение задачи 17
До решения этой задачи рекомендуется изучить раздел «Уравнения прямой в » из лекции 12.
Угловой коэффициент прямой в находится разрешением уравнения этой прямой относительно зависимой переменной :
.
Угловой коэффициент — это полученный коэффициент при , то есть . Отрезок, отсекаемый прямой на оси , получаем, подставив в наше уравнение . Получаем , то есть .
Построим прямую по двум принадлежащим ей точкам. Одну точку мы уже нашли — это точка . Вторую точку лучше всего находить, подставив в уравнение . Получаем и точку . Точки и находятся на координатных осях, поэтому данное построение называется построением прямой в отрезках на осях:
Решение задачи 18
Начнем с нахождения углового коэффициента прямой . Он уже найден в предыдущей задаче: .
а) Так как , а угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси , то угловые коэффициенты этих прямых совпадают. Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой . Воспользуемся формулой (47) из лекции 12, то есть уравнением прямой в , проходящей через точку с угловым коэффициентом :
.
б) Пусть — угловой коэффициент прямой . Воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых в (см. формулу (52) из лекции 12):
.
Опять применяем формулу (47):
.
Решение задачи 19
а) Для нахождения уравнения стороны BC применим формулу (50) из лекции 12 (уравнение прямой в , проходящей через две точки):
.
Из полученного уравнения находим угловой коэффициент прямой BC: . б) Пользуясь условием ортогональности (52) из лекции 12, найдем угловой коэффициент высоты : . Используя формулу (47) из лекции 12, запишем уравнение высоты , проходящей через известную точку и имеющей известный угловой коэффициент :
.
в) Так как — медиана треугольника , то точка делит сторону пополам, следовательно, координаты точки равны полусумме соответствующих координат точек и , то есть . В очередной раз воспользуемся формулой (50):
.
Решение задачи 20
Напомним, что точка C симметрична точке A относительно прямой , если она лежит на прямой , перпендикулярной к и проходящей через точку A, и расстояние от до равно расстоянию от до (см. рисунок). Прежде чем находить точку C, найдём точку B — проекцию на .Для этого составим уравнение проектирующей прямой . Обозначим через угловой коэффициент прямой , а через — прямой . Так как и , то , а так как , то по формуле (47) имеем:
.
Далее, из того, что , вытекает, что координаты точки находятся из системы:
.
Теперь мы можем определить координаты точки . Действительно, так как точка B делит отрезок AC пополам, то координаты точки B равны полусумме координат точек A и C, то есть:
.