Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Образец индивидуального задания




ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

(линейные образы)

Задача 1

 

а) Найти параметрические уравнения прямой , проходящей через точку параллельно вектору .

б) При каком значении параметра t точка принадлежит этой прямой?

в) Принадлежит ли точка этой прямой?

г) Построить данную прямую.

Задача 2

 

а) Составить параметрические уравнения прямой , проходящей через точки и .

б) Используя параметр, найти координаты точек C и D, делящих отрезок на три равные части.

Задача 3

 

Построить плоскости и указать особенности их расположения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Задача 4

 

а) Составить уравнение плоскости , которая проходит через точку и имеет нормальный вектор .

б) Принадлежит ли этой плоскости точка ?

Задача 5

Cоставить уравнение плоскости , проходящей через три точки , и .

 

Задача 6

 

Составить уравнение плоскости , проходящей через точку и прямую .

Задача 7

 

Составить уравнение плоскости , проходящей через две параллельные прямые и .

Задача 8

 

Составить уравнение плоскости , проходящей через точки и параллельно вектору .

Задача 9

 

Составить уравнение плоскости , проходящей через две точки и перпендикулярно плоскости .

 

Задача 10

 

Составить уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости .

 

Задача 11

 

При каком значении параметра a плоскости и будут перпендикулярны?

Задача 12

При каких значениях параметров a и b плоскости и будут параллельны?

Задача 13

Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задача 14

Найти угол между прямой и плоскостью .

Задача 15

Найти проекцию точки на плоскость .

Задача 16

Найти проекцию точки на прямую .

 

Задача 17

 

Дана прямая . Найти угловой коэффициент этой прямой и отрезок, отсекаемый ею на оси ординат. Построить эту прямую.

Задача 18

Дана прямая и точка . Составить уравнение:

а) прямой ,проходящей через точку A параллельно прямой ;

б) прямой , проходящей через точку A перпендикулярно прямой .

Задача 19

Даны вершины , и треугольника ABC. Составить:

а) уравнение стороны BC;

б) уравнение высоты AH;

в) уравнение медианы AD.

Задача 20

Найти точку, симметричную точке относительно прямой .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Решение задачи 1

 

а) В данной задаче известны направляющий вектор прямой и точка . Используя материал раздела «Параметрические уравнения прямой в » (см., в частности, формулу (42) из лекции 10), получаем:

.

б) Подставляя в полученные параметрические уравнения прямой вместо , и соответствующие координаты точки B, имеем:

.

Таким образом, на прямой точке B отвечает параметр .

в) Подставим теперь в уравнения прямой вместо , и координаты точки C:

.

Таким образом, не существует единого числа t, при котором координаты точки C удовлетворяли бы всем уравнениям прямой . Следовательно, точка C не принадлежит прямой .

г) Для того, чтобы построить данную прямую , достаточно построить какие-нибудь две точки, принадлежащие этой прямой (в нашем случае, например, точки и ) и затем соединить эти две точки при помощи линейки отрезком прямой:

 
 

 

 


 

Решение задачи 2

а) Решение этой задачи повторяет решение примера 21 из лекции 10.

 

Направляющий вектор прямой можно вычислить следующим образом: .

б) Сначало проведем одно общее рассуждение. Пусть — точка на прямой (заданной уравнениями (42) из лекции 10), соответствующая значению параметра, а соответствует значению . Вычислим расстояние между этими точками. Имеем:

.

Таким образом, расстояние между двумя точками на пропорционально разности соответствующих значений параметра.

Вернемся теперь к нашей конкретной прямой. Ясно, что точке соответствует значение параметра , а точке , причем . Поэтому для точки :

,

а для точки :

.

Решение задачи 3

а) Построим плоскость в отрезках на осях (это всегда можно сделать, если уравнение плоскости полное, то есть в нем присутствуют все три переменные и свободный член). Построение проводится так же, как и построение плоскости в примере 31 из лекции 12. Найдем точки пересечения , и данной плоскости с координатными осями , и :

,

,

.

Соединив найденные точки отрезками, получим треугольник , принадлежащий искомой плоскости:

 
 


б) Построим плоскость (см. также построение плоскости в примере 31 из лекции 12):

,

,

.

Полученное в последнем случае противоречие говорит о том, что наша плоскость не пересекается с осью , то есть параллельна ей. Проведя из точек и вверх равные отрезки и , параллельные оси , а затем соединяя точки и , получаем прямоугольник , принадлежащий искомой плоскости:

 
 


в) Построим плоскость (см. также построение плоскости в примере 31 из лекции 12):

,

,

.

Полученные в первых двух случаях противоречия говорят о том, что наша плоскость не пересекается с осями и , то есть параллельна им. Проведя из точки отрезки и , параллельные осям и , а затем, соединяя точки и , получаем треугольник , принадлежащий искомой плоскости:


г) Построим плоскость . Ясно, что эта плоскость проходит через начало координат и не имеет других точек пересечения с осями координат. Найдем еще две точки, лежащие на данной плоскости:

,

.

Соединяя точки , и отрезками прямой, получаем треугольник , принадлежащий искомой плоскости:

 


д) Построим плоскость . Ясно, что эта плоскость проходит через начало координат . Найдем еще две точки, лежащие на данной плоскости:

,

.

Соединяя точки , и отрезками прямой, получаем треугольник , принадлежащий искомой плоскости:

 

 

 


Ясно, что построенная плоскость содержит ось .

Решение задачи 4

а)

Решение данной задачи изложено в разделе «Построение плоскости по точке и нормальному вектору» в лекции 10. Применяя формулу (44) из той же лекции, получаем:

.

 

б) Для того, чтобы выяснить, принадлежит ли точка плоскости , нужно координаты этой точки подставить в полученное в предыдущем пункте уравнение этой плоскости:

Следовательно, точка B не принадлежит плоскости .

 

B
Решение задачи 5

 

Введем текущую точку плоскости и вычислим векторы , и , принадлежащие данной плоскости:

 
 

 

 


Ясно, что эти векторы линейно зависимы, следовательно .

Раскрывая определитель и упрощая, получаем общее уравнение плоскости :

.

Заметим, что данную задачу можно решить, используя формулу (45) раздела «Уравнение плоскости по точке и двум векторам» (см. лекцию 10). Проделайте это самостоятельно!

 

Решение задачи 6

Анализируя параметрические уравнения заданной прямой , приходим к выводу, что эта прямая проходит через точку с координатами , которую мы обозначим через , и имеет направляющий вектор , который мы обозначим через . Поместим начало этого вектора в точку . Рассмотрим также вектор :

 

 
 

 

 


 

 


Запишем уравнение плоскости по точке и двум векторам и (см. формулу (45) из лекции 10):

.

 

Решение задачи 7

 

Эта задача решается также, как пункт 3) примера 23 из лекции 10.

Из параметрических уравнений параллельных прямых и получаем:

1) точку ;

2) точку ;

3) общий направляющий вектор этих прямых.

Пусть :

 

 


Запишем уравнение плоскости по точке и двум векторам и (см. формулу (45) из лекции 10):

.

 

Решение задачи 8

Рассмотрим точку , а также векторы и . Так же, как и в предыдущей задаче, записываем уравнение плоскости по точке и двум векторам и (см. формулу (45) из лекции 10):

.

Решение задачи 9

Из теоремы 19 (см. лекцию 11) вытекает, что — нормальный вектор плоскости :

 
 

 


 

 


Ясно, что вектор принадлежит плоскости . Рассмотрев точку , а также векторы и , получим, как и в предыдущих задачах, искомое уравнение плоскости :

.

 

Решение задачи 10

Ясно, что нормальный вектор плоскости является одновременно нормальным вектором искомой плоскости , то есть по теореме 19 (см. лекцию 11) . Используя уравнение плоскости по точке и нормальному вектору (см. формулу (44) из лекции 10), имеем:

.

Чертеж к решению данной задачи рекомендуется построить самостоятельно.

 

Решение задачи 11

Из теоремы 19 лекции 11 вытекает, что — нормальный вектор плоскости , а — нормальный вектор плоскости . Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны их нормальные векторы. Итак:

.

 

Решение задачи 12

Из теоремы 19 лекции 11 вытекает, что — нормальный вектор плоскости , а — нормальный вектор плоскости . Ясно, что две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда коллинеарны их нормальные векторы. Итак:

.

 

Решение задачи 13

 

 

 


Перед решением этой задачи рекомендуется изучить теорему 20 и ее доказательство (см. лекцию 11).

Для нахождения общей точки прямой и плоскости нужно решить систему уравнений, составленную из параметрических уравнений прямой и уравнения плоскости :

.

Таким образом, точка есть искомая точка пересечения прямой и плоскости.

 

 

Решение задачи 14

 

Рассмотрим векторы (направляющий вектор прямой ) и (нормальный вектор плоскости ):

 
 

 


Ясно, что — угол между и . Так как , где — угол между векторами и , то

.

Следовательно, .

 

Решение задачи 15

 

Найдем точку , являющуюся проекцией точки на плоскость .

 

1) Запишем уравнение прямой , проходящей через точку A перпендикулярно плоскости . Так как в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости , который в силу теоремы 19 из лекции 11 равен

 

, то параметрические уравнения имеют вид: .

 

2) Найдем точку пересечения прямой и плоскости . Так же, как и в доказательстве теоремы 20 из лекции 11, решим систему уравнений:

.

Таким образом, То есть, — проекция точки на плоскость .

 

 

Решение задачи 16

 

Найдем проекцию точки на прямую .

 

1) Запишем уравнение плоскости , проходящей через точку A перпендикулярно прямой . Так как в качестве нормального вектора плоскости можно взять направляющий вектор прямой , который равен , то (см. формулу (44) из лекции 10).

 

 

 

 

2) Найдем точку пересечения прямой и плоскости . Решим систему уравнений:

.

Получаем: То есть точка — проекция точки на прямую .

 

Решение задачи 17

 

До решения этой задачи рекомендуется изучить раздел «Уравнения прямой в » из лекции 12.

Угловой коэффициент прямой в находится разрешением уравнения этой прямой относительно зависимой переменной :

.

Угловой коэффициент — это полученный коэффициент при , то есть . Отрезок, отсекаемый прямой на оси , получаем, подставив в наше уравнение . Получаем , то есть .

Построим прямую по двум принадлежащим ей точкам. Одну точку мы уже нашли — это точка . Вторую точку лучше всего находить, подставив в уравнение . Получаем и точку . Точки и находятся на координатных осях, поэтому данное построение называется построением прямой в отрезках на осях:

 

 
 

 

 


Решение задачи 18

 

Начнем с нахождения углового коэффициента прямой . Он уже найден в предыдущей задаче: .

а) Так как , а угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси , то угловые коэффициенты этих прямых совпадают. Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой . Воспользуемся формулой (47) из лекции 12, то есть уравнением прямой в , проходящей через точку с угловым коэффициентом :

.

б) Пусть — угловой коэффициент прямой . Воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых в (см. формулу (52) из лекции 12):

.

Опять применяем формулу (47):

.

 

Решение задачи 19

 

 

 


а) Для нахождения уравнения стороны BC применим формулу (50) из лекции 12 (уравнение прямой в , проходящей через две точки):

.

Из полученного уравнения находим угловой коэффициент прямой BC: . б) Пользуясь условием ортогональности (52) из лекции 12, найдем угловой коэффициент высоты : . Используя формулу (47) из лекции 12, запишем уравнение высоты , проходящей через известную точку и имеющей известный угловой коэффициент :

.

в) Так как — медиана треугольника , то точка делит сторону пополам, следовательно, координаты точки равны полусумме соответствующих координат точек и , то есть . В очередной раз воспользуемся формулой (50):

.

 

Решение задачи 20

 

 
 

 

 


Напомним, что точка C симметрична точке A относительно прямой , если она лежит на прямой , перпендикулярной к и проходящей через точку A, и расстояние от до равно расстоянию от до (см. рисунок). Прежде чем находить точку C, найдём точку B — проекцию на .Для этого составим уравнение проектирующей прямой . Обозначим через угловой коэффициент прямой , а через — прямой . Так как и , то , а так как , то по формуле (47) имеем:

.

Далее, из того, что , вытекает, что координаты точки находятся из системы:

.

Теперь мы можем определить координаты точки . Действительно, так как точка B делит отрезок AC пополам, то координаты точки B равны полусумме координат точек A и C, то есть:

.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-10-30; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 5067 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Чтобы получился студенческий борщ, его нужно варить также как и домашний, только без мяса и развести водой 1:10 © Неизвестно
==> читать все изречения...

2431 - | 2320 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.