Часть 3: уравнения прямых и плоскостей. Если в задана точка и ненулевой вектор, то точно так же, как мы ранее получили параметрические уравнения (42) прямой в

 

Лекция 12

 

Уравнения прямой в

 

Если в задана точка и ненулевой вектор , то точно так же, как мы ранее получили параметрические уравнения (42) прямой в , можно записать следующие параметрические уравнения прямой в :

.

(46)

Определение 28. Если (то есть если прямая непараллельна оси Oy), то число (где – угол наклона прямой к оси Ox) называется угловым коэффициентом прямой . В случае (то есть если прямая параллельна оси Oy) говорят, что прямая имеет бесконечный угловой коэффициент.

Преобразуем уравнения (46) в обоих случаях, указанных в определении 28.

1) Пусть . Выразим параметр t из первого уравнения в (46) и подставим во второе уравнение. Получим:

Уравнение

(47)

называется уравнением прямой в , проходящей через точку с угловым коэффициентом k. Раскрывая в (47) скобки и обозначая , получаем уравнение

,

(48)

называемое уравнением прямой в с угловым коэффициентом k. Если в уравнении (48) положить , то получим , то есть число b есть ордината точки пересечения прямой и оси Oy.

2) Если , то . Отсюда немедленно следует, что система (46) равносильна уравнению . Итак, уравнение вида

(49)

есть уравнение прямой в , параллельной оси Oy.

Пример 27. Записать уравнение прямой, проходящей через точку и наклоненной к оси Ox под углом .

Подставим в уравнение (47) . Уравнение искомой прямой запишется в виде:

Пример 28. Записать уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной оси Oy.

Применяя (49), имеем: .

Используя (46), получим теперь уравнение прямой, проходящей через две точки и . Очевидно, можно положить . Тогда уравнения (46) примут вид:

.

Применяя свойство 6 определителей, получаем:

.

(50)

Обратно, если (50) выполняется, то по свойству 5 систем векторов векторы-столбцы в определителе (50) линейно зависимы. А так как второй вектор-столбец – ненулевой, то легко видеть, что первый вектор-столбец равен второму, умноженному на некоторое число t.

Итак, мы доказали, что уравнение (50) есть уравнение прямой в , проходящей через две заданные точки A и B.

 

Общее уравнение прямой в . Угол между двумя прямыми.

Условие ортогональности двух прямых. Построение прямых в и плоскостей в .

 

Определение 29. Уравнение , где A, B и C – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел A и B неравно нулю, называется общим уравнением прямой в .

Точно так же, как это делалось в доказательстве теоремы 19, можно доказать следующий результат:

Теорема 21. Общее уравнение прямой сводится к одному из уравнений (48) или (49), причем вектор является нормальным вектором данной прямой .

Пусть даны две прямые и . Очевидно, угол между их нормальными векторами и равен одному из углов, образованных самими прямыми и (на рисунке этот угол является острым; однако если бы вектора и смотрели в разные стороны, то этот угол оказался бы тупым). По формуле (25) и с учетом теоремы 21 имеем:

.

(51)

Итак, по формуле (51) можно вычислять один из углов, образованных прямыми и .

Из (51) вытекает, что перпендикулярна тогда и только тогда, когда . Преобразуем это соотношение. Сначала предположим, что и . Это означает, что угловые коэффициенты прямых и конечны. Имеем:

.

Однако из уравнений и легко получить, что выражения в скобках соответственно равны угловым коэффициентам этих прямых: . Таким образом, имеем:

.

(52)

Заметим, что соотношение (52) можно применять и в случае, когда одна из прямых и имеет бесконечный угловой коэффициент. Пусть, например, . Если при этом положить , то прямые и будут перпендикулярны, так как параллельна оси Oy, а параллельна оси Ox.

Итак, мы получили, что две прямые и ортогональны тогда и только тогда, когда выполняется равенство (52), то есть произведение угловых коэффициентов этих прямых равно минус единице.

Пример 29. Даны вершины треугольника . Найти уравнения сторон AB и BC и уравнения высот треугольника, опущенных на эти стороны.

Для нахождения уравнений AB и BC применим формулу (50):

Из полученных уравнений находим угловые коэффициенты прямых AB и BC: Пользуясь условием ортогональности (52), найдем угловые коэффициенты и высот и : , . Используя формулу (47), запишем уравнение высоты , проходящей через известную точку и имеющей известный угловой коэффициент :

: .

Ввиду того, что угловой коэффициент высоты бесконечен, эта высота, согласно (49), имеет уравнение вида . Так как она проходит через точку , то ясно, что Таким образом, .

Пример 30. Построить прямые:

Для построения прямой применим так называемый метод в отрезках на осях. Полагая в уравнении , получаем , то есть находим точку пересечения и оси Oy. Полагая , получаем , то есть находим точку пересечения и оси Ox. Теперь проводим прямую через точки A и B.

Очевидно, что прямая проходит через начало координат . Вторую точку на находим, придавая переменной x какое-либо ненулевое значение. Пусть , тогда , и мы получаем точку на . Осталось соединить точки O и C.

Преобразуем уравнение прямой к виду (49): . Это прямая, параллельная оси Oy и пересекающая ось Ox в точке .

Преобразуем уравнение прямой к виду: . Это прямая, параллельная оси Ox и пересекающая ось Oy в точке .

Пример 31. Построить в следующие плоскости: , , , .

Построим в отрезках на осях (см. пример 30). Имеем:

Построив три вычисленные точки и соединив их отрезками, получаем треугольник, лежащий в искомой плоскости .

Построим плоскость . Уравнение не содержит переменной y. Это означает, что если точка принадлежит , то этой плоскости принадлежит и точка при любом . Итак, вместе с точкой плоскости принадлежит вся прямая, проходящая через эту точку и параллельная оси Oy. Из уравнения получаем: . Соединив точки и и проведя через каждую из этих точек прямую, параллельную оси Oy, получим нужную плоскость.

Уравнение плоскости запишем в виде: . Очевидно, это плоскость, проходящая через точку параллельно координатной плоскости xOz.

Построение плоскости немного сложнее и предоставляется читателю.