Лекция 12
Уравнения прямой в 
Если в задана точка 
и ненулевой вектор 
, то точно так же, как мы ранее получили параметрические уравнения (42) прямой в 
, можно записать следующие параметрические уравнения прямой в :
  .
| (46) |
|
Определение 28. Если 
(то есть если прямая 
непараллельна оси Oy), то число 
(где 
– угол наклона прямой к оси Ox) называется угловым коэффициентом прямой . В случае 
(то есть если прямая параллельна оси Oy) говорят, что прямая имеет бесконечный угловой коэффициент.
Преобразуем уравнения (46) в обоих случаях, указанных в определении 28.
1) Пусть . Выразим параметр t из первого уравнения в (46) и подставим во второе уравнение. Получим:
|
Уравнение
| (47) |
называется уравнением прямой в , проходящей через точку с угловым коэффициентом k. Раскрывая в (47) скобки и обозначая 
, получаем уравнение
 ,
| (48) |
называемое уравнением прямой в с угловым коэффициентом k. Если в уравнении (48) положить 
, то получим 
, то есть число b есть ордината точки пересечения прямой и оси Oy.
2) Если , то 
. Отсюда немедленно следует, что система (46) равносильна уравнению 
. Итак, уравнение вида
| (49) |
есть уравнение прямой в , параллельной оси Oy.
Пример 27. Записать уравнение прямой, проходящей через точку 
и наклоненной к оси Ox под углом 
.
Подставим в уравнение (47) 
. Уравнение искомой прямой запишется в виде: 
Пример 28. Записать уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной оси Oy.
Применяя (49), имеем: 
.
Используя (46), получим теперь уравнение прямой, проходящей через две точки и 
. Очевидно, можно положить 
. Тогда уравнения (46) примут вид:
 .
|
Применяя свойство 6 определителей, получаем:
 .
| (50) |
Обратно, если (50) выполняется, то по свойству 5 систем векторов векторы-столбцы в определителе (50) линейно зависимы. А так как второй вектор-столбец – ненулевой, то легко видеть, что первый вектор-столбец равен второму, умноженному на некоторое число t.
Итак, мы доказали, что уравнение (50) есть уравнение прямой в , проходящей через две заданные точки A и B.
Общее уравнение прямой в . Угол между двумя прямыми.
Условие ортогональности двух прямых. Построение прямых в и плоскостей в .
Определение 29. Уравнение 
, где A, B и C – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел A и B неравно нулю, называется общим уравнением прямой в .
Точно так же, как это делалось в доказательстве теоремы 19, можно доказать следующий результат:
Теорема 21. Общее уравнение прямой сводится к одному из уравнений (48) или (49), причем вектор 
является нормальным вектором данной прямой .
|
Пусть даны две прямые 
и 
. Очевидно, угол 
между их нормальными векторами 
и 
равен одному из углов, образованных самими прямыми 
и 
(на рисунке этот угол является острым; однако если бы вектора и смотрели в разные стороны, то этот угол оказался бы тупым). По формуле (25) и с учетом теоремы 21 имеем:
 .
| (51) |
Итак, по формуле (51) можно вычислять один из углов, образованных прямыми и .
Из (51) вытекает, что перпендикулярна тогда и только тогда, когда 
. Преобразуем это соотношение. Сначала предположим, что 
и 
. Это означает, что угловые коэффициенты прямых и конечны. Имеем:
.
Однако из уравнений и легко получить, что выражения в скобках соответственно равны угловым коэффициентам этих прямых: 
. Таким образом, имеем:
 .
| (52) |
Заметим, что соотношение (52) можно применять и в случае, когда одна из прямых и имеет бесконечный угловой коэффициент. Пусть, например, 
. Если при этом положить 
, то прямые и будут перпендикулярны, так как 
параллельна оси Oy, а 
параллельна оси Ox.
Итак, мы получили, что две прямые и ортогональны тогда и только тогда, когда выполняется равенство (52), то есть произведение угловых коэффициентов этих прямых равно минус единице.
Пример 29. Даны вершины треугольника 
. Найти уравнения сторон AB и BC и уравнения высот треугольника, опущенных на эти стороны.
Для нахождения уравнений AB и BC применим формулу (50):
|
Из полученных уравнений находим угловые коэффициенты прямых AB и BC: 
Пользуясь условием ортогональности (52), найдем угловые коэффициенты 
и 
высот 
и 
: 
, 
. Используя формулу (47), запишем уравнение высоты , проходящей через известную точку 
и имеющей известный угловой коэффициент 
:
: 
.
Ввиду того, что угловой коэффициент высоты бесконечен, эта высота, согласно (49), имеет уравнение вида 
. Так как она проходит через точку 
, то ясно, что 
Таким образом, 
.
Пример 30. Построить прямые:
|
Для построения прямой применим так называемый метод в отрезках на осях. Полагая в уравнении , получаем 
, то есть находим точку 
пересечения и оси Oy. Полагая 
, получаем 
, то есть находим точку 
пересечения и оси Ox. Теперь проводим прямую через точки A и B.
Очевидно, что прямая 
проходит через начало координат 
. Вторую точку на находим, придавая переменной x какое-либо ненулевое значение. Пусть 
, тогда 
, и мы получаем точку 
на . Осталось соединить точки O и C.
Преобразуем уравнение прямой 
к виду (49): 
. Это прямая, параллельная оси Oy и пересекающая ось Ox в точке 
.
Преобразуем уравнение прямой 
к виду: 
. Это прямая, параллельная оси Ox и пересекающая ось Oy в точке 
.
|
Пример 31. Построить в следующие плоскости: 
, 
, 
, 
.
Построим 
в отрезках на осях (см. пример 30). Имеем:
Построив три вычисленные точки и соединив их отрезками, получаем треугольник, лежащий в искомой плоскости .
|
|
Построим плоскость 
. Уравнение не содержит переменной y. Это означает, что если точка 
принадлежит , то этой плоскости принадлежит и точка 
при любом 
. Итак, вместе с точкой плоскости принадлежит вся прямая, проходящая через эту точку и параллельная оси Oy. Из уравнения получаем: 
. Соединив точки 
и 
и проведя через каждую из этих точек прямую, параллельную оси Oy, получим нужную плоскость.
Уравнение плоскости 
запишем в виде: 
. Очевидно, это плоскость, проходящая через точку 
параллельно координатной плоскости xOz.
Построение плоскости 
немного сложнее и предоставляется читателю.
