Часть 3: уравнения прямых и плоскостей

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Раздел 2. Линейная алгебра

Курс лекций

и образец решения индивидуального задания

по высшей математике для бакалавров 1-го курса

очной формы обучения

 

 

Ростов-на-Дону

УДК 517(07)

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Раздел 2. Линейная алгебра. Курс лекций и образец решения индивидуального задания по высшей математике для бакалавров 1-го курса очной формы обучения. – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2011. – 33 с.

 

Изложен курс лекций по линейным образам (уравнения прямых и плоскостей). Приведен образец индивидуального задания, снабженный подробным решением входящих в него задач.

Предназначены для бакалавров 1-го курса очной формы, проходящих обучение на кафедре высшей математики РГСУ, а также на математических кафедрах других вузов.

Электронная версия находится в библиотеке, ауд. 224.

УДК 517(07)

 

Составитель:	д-р физ.-мат. наук, проф. И.В. Павлов
Рецензенты:	канд. физ.-мат. наук, доц. А.М. Можаев, канд. физ.-мат. наук, доц. Г.А. Власков

 

Редактор Т.М. Климчук

Доп. план 2011 г., поз. 177

Подписано в печать 12.07.11. Формат 60´84/16. Бумага писчая. Ризограф.

Уч.-изд.л. 2,5. Тираж 50 экз. Заказ 379

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162

 

© Ростовский государственный

строительный университет, 2011

ЧАСТЬ 3: УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

 

Лекция 10

 

Параметрические уравнения прямой в

 

Дано: точка и ненулевой вектор .

Требуется: записать уравнение прямой , проходящей через точку A и вектор (предполагается, что начало вектора совмещено с точкой A).

Решение. Рассмотрим на прямой так называемую "текущую" точку с переменными координатами x, y и z. Наложим на переменные x, y и z такие условия, которые, с одной стороны, дадут возможность точке M попасть в любую точку прямой и, с другой стороны, не позволят точке M выйти за пределы прямой . Полученные соотношения и будут представлять собой уравнения прямой . Имеем цепочку равносильностей (в этой цепочке символ будет заменять слово "существует"):

вектора и линейно зависимы

.

Система уравнений

(42)

называется параметрическими уравнениями прямой в по точке А и вектору . Число t является в уравнениях (42) параметром, могущим принимать любое действительное значение. Вектор (как и любой вектор, параллельный прямой ) называют направляющим вектором прямой .

 

Числовая иллюстрация. Запишем уравнения прямой , проходящей через точку и вектор . Подставив имеющиеся данные в уравнение (42), получим:

.

(43)

Применяя уравнения (42) к решению конкретных задач, следует, прежде всего, отдавать себе отчет в двух вещах.

1) Чтобы получать точки прямой , нужно придавать параметру t различные действительные значения. Например, если требуется найти какие-либо три различные точки на прямой (43), то можно сначала выбрать самое простое значение параметра, а именно , и, подставив в (43), получить исходную точку A. Затем выбираем какие-нибудь еще два значения параметра, к примеру, и , и получаем, соответственно, точки и , лежащие на прямой . Если существует произвол в выборе точек, то ясно, что третье значение параметра брать не стоит.

2) Если нужно проверить, лежат ли, например, точки и на прямой (43), в каждом случае следует подставлять координаты данных точек вместо x, y и z в уравнение (43) и решать полученную систему 3-х уравнений с одним неизвестным. Если система окажется совместной, то точка лежит на прямой, а если несовместной – то не лежит.

Имеем для точки D:

.

Система совместна, и точке D соответствует значение параметра

Для точки E:

.

Система несовместна, следовательно .

Пример 21. Записать уравнения прямой, проходящей через точки и .

Ясно, что направляющий вектор для можно задать так:

.

 

Пример 22. Записать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно векторам и .

Принимая во внимание теорему 15, направляющий вектор для можно вычислить следующим образом:

.

Следовательно, .

 

Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

 

Дано: точка и ненулевой вектор .

Требуется: записать уравнение плоскости , проходящей через точку A ортогонально вектору .

Решение. Рассмотрим на плоскости "текущую" точку с переменными координатами x, y и z. Наложим на переменные x, y и z условие, которое, с одной стороны, даст возможность точке M попасть в любую точку плоскости и, с другой стороны, не позволит точке M выйти за пределы этой плоскости. Полученное соотношение и будет представлять собой уравнения плоскости . Имеем цепочку равносильностей:

.
Уравнение

(44)

называется уравнением плоскости по точке A и нормальному вектору (термины "нормальный вектор", "ортогональный вектор", "перпендикулярный вектор" означают одно и то же).

Числовая иллюстрация. Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор . По формуле (44) имеем:

 

Уравнение плоскости по точке и двум векторам

 

 

Дано: точка и два линейно независимых (неколлинеарных) вектора и .

Требуется: записать уравнение плоскости, проходящей через точку A и векторы и (предполагается, что начала векторов и совмещены с точкой A).

Решение. Сведем эту задачу к задаче построения уравнения плоскости по точке и нормальному вектору. Очевидно, в качестве нормального вектора можно выбрать вектор . Взяв текущую точку и применяя рассуждения предыдущего пункта, а также определение 26 и теорему 16, получаем:

Уравнение

(45)

называется уравнением плоскости по точке A и двум векторам и .

Пример 23. Доказать, что прямые и параллельны, но не совпадают, и записать уравнение плоскости, проходящей через и .

1) Направляющие векторы данных прямых соответственно равны и . Так как отношения соответствующих координат равны , то , то есть эти векторы линейно зависимы (коллинеарны). Значит, .

2) Теперь чтобы доказать, что и не совпадают, достаточно проверить, что точка, лежащая на одной прямой, не лежит на другой. Положив в первой системе, получаем точку . Покажем, что . Подставим координаты точки A во вторую систему: . Эта система противоречива, поэтому .

3) Запишем уравнение плоскости, проходящей через и . Положив в параметрических уравнениях прямой , получим точку . Возьмем . По формуле (45) получаем искомое уравнение плоскости:

 

 

ЧАСТЬ 3: УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

 

Лекция 11

 

Пример 24. Доказать, что прямые и пересекаются, и записать уравнение плоскости, проходящей через и .

Прежде всего отметим, что при записи уравнений данных прямых мы обозначили параметры разными буквами. В принципе, это нужно делать всегда для двух различных прямых. Этим правилом пренебрегают, когда в процессе решения эти параметры не входят одновременно в состав какого-либо одного уравнения (см. пример 23). Как мы увидим, при решении данного примера без четкого различения параметров не обойтись.

1) Покажем, что и пересекаются. Это означает, что должна существовать единственная точка , координаты которой удовлетворяют одновременно всем уравнениям первой и второй прямой. А это выполняется тогда и только тогда, когда следующая система имеет единственное решение:

.
Единственное решение получено и, подставляя в уравнения прямой (либо в уравнения прямой ), получаем точку пересечения .

2) Прямые и пересекаются в точке и имеют направляющие векторы и . Записывая уравнение плоскости по точке и двум векторам (см. формулу (45)), получаем:

 

Общее уравнение плоскости в

 

Определение 27. Уравнение , где A, B, C и D – действительные числа, причем A, B и C не равны нулю одновременно, называется общим уравнением плоскости в пространстве .

Легко видеть, что изученные ранее уравнения плоскости (44) и (45) после преобразований сводятся к общему уравнению плоскости (это также наглядно видно в примерах 23 и 24).

Теорема 19. Вектор является нормальным вектором плоскости .

Доказательство. Пусть – точка, лежащая на заданной плоскости, то есть . Такая точка всегда существует. Например, если , то можно положить (случаи и рассматриваются аналогично). Пользуясь формулой (44), запишем уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно вектору :

Так как , то и уравнение плоскости принимает вид , то есть исходная плоскость совпадает с плоскостью . Значит нормальный вектор плоскости также является нормальным вектором исходной плоскости.

Заметим, что из доказательства теоремы 19 следует более сильный вывод: плоскость, заданная общим уравнением, всегда может быть получена с помощью формулы (44).

Теорема 20. Пусть даны плоскость : и прямая .

1) и пересекаются тогда и только тогда, когда

2) лежит в плоскости тогда и только тогда, когда

3) параллельна (но не лежит в плоскости ) тогда и только тогда, когда

Доказательство. Для нахождения общих точек плоскости и прямой составляем систему уравнений:

Преобразовывая последнее уравнение полученной системы, имеем:

Если , то и, подставляя это значение t в первые три уравнения системы, находим однозначно определенные координаты x, y и z точки пересечения и . Если и , то получаем верное равенство , которое означает, что каждая точка прямой лежит в плоскости . Наконец, если , но , то левая часть полученного уравнения равна нулю, а правая отлична от нуля. Это говорит о том, что исходная система несовместна, следовательно и не имеют общих точек, то есть .

Геометрический смысл теоремы 20 очень прост. Так как – направляющий вектор прямой , а – нормальный вектор плоскости , то условие пункта 1) теоремы 20 означает, что , то есть угол между и неравен . А это и означает, что непараллельна . Наоборот, в пунктах 2) и 3) , то есть параллельна в широком смысле. Если при этом (то есть точка , принадлежащая прямой , принадлежит также и ), то ясно, что тогда и все точки принадлежат . В противном случае и не имеют общих точек, то есть .

Пример 25. Найти точку Q, симметричную точке относительно плоскости .

1) Запишем уравнение прямой , проходящей через точку P перпендикулярно плоскости . Так как в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости , который в силу теоремы 19 равен , то параметрические уравнения имеют вид: .

2) Найдем точку пересечения прямой и плоскости . Так же, как и в доказательстве теоремы 20, решим систему уравнений:

.

Таким образом, То есть, .

3) Пусть – точка, симметричная точке P относительно плоскости . Так как , то . То есть .

 

Пример 26. Найти точку Q, симметричную точке относительно прямой : .

1) Запишем уравнение плоскости , проходящей через точку P перпендикулярно прямой . Так как в качестве нормального вектора плоскости можно взять направляющий вектор прямой , который равен , то по формуле (44): .

2) Найдем точку пересечения прямой и плоскости . Решим систему уравнений:

Получаем: То есть .

3) Пусть – точка, симметричная точке P относительно прямой . Так как , то . То есть .

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

 

Пусть заданы две плоскости: и , причем их нормальные векторы и неколлинеарны. Отсюда следует, что эти плоскости пересекаются, то есть система определяет прямую в пространстве . Читателю предлагается самостоятельно разобраться, как из этой системы получить параметрические уравнения данной прямой.