Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Зачет № 7. Координаты и векторы




Вопросы

1. Прямоугольная система координат в пространстве (определение, названия, примеры).

2. История открытия прямоугольной системы координат.

3. Теорема о расстоянии между точками в пространстве (формулировка, доказательство).

4. Уравнение сферы с центром в точке A (x 0, y 0, z 0) и радиусом R (формулировка, доказательство).

5. Понятие координат вектора (определение, примеры).

6. Теорема о разложении вектора по координатным векторам (формулировка, доказательство).

7. Теорема о координатах суммы двух векторов (формулировка, доказательство).

8. Понятие скалярного произведения векторов (определение, скалярный квадрат, примеры).

9. Теорема о выражении скалярного произведения векторов через их координаты (формулировка, доказательство).

10. Уравнение плоскости в пространстве (формулировка, доказательство).

11*. Уравнение прямой в пространстве (формулировка, доказательство).

12. Аналитическое задание фигур в пространстве (сфера, шар, цилиндр, многогранник).

13*. Понятие о задачах оптимизации (примеры, этапы решения).

14*. Полярная система координат на плоскости (определение, названия, примеры).

15*. Уравнение окружности в полярных координатах (вывод, изображение).

16*. Уравнение спирали Архимеда в полярных координатах (вывод, изображение).

17*. Уравнение логарифмической спирали в полярных координатах (вывод, изображение).

18*. Уравнение трилистника в полярных координатах (вывод, изображение).

19*. Сферические координаты в пространстве (определение, названия, примеры).

20*. Исторические сведения об измерении Земли.

Задачи

1. Докажите, что точки A (-1,3,4), B (-2,0,5), C (1,1,-3), D (2,4,-4) являются вершинами параллелограмма. Найдите косинус угла между его диагоналями.

2. Найдите расстояние от точки K (1,2,-7) до плоскости, заданной уравнением 12 x + 4 y + 3 z – 4 = 0.

3. Сфера (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R 2 проходит через начало координат. Докажите, что уравнение касательной плоскости к сфере в начале координат имеет вид ax + by + cz = 0.

4. Найдите косинус угла между плоскостями 2 x + 3 y + 6 z – 5 = 0 и 4 x + 4 y + 2 z – 7 = 0.

5. Найдите условие касания двух сфер, заданных уравнениями (x – x 1)2 + (y – y 1)2 + (z – z 1)2 = R 12; (x – x 2)2 + (y – y 2)2+ (z – z 2)2 = R 22.

6. Найдите уравнение плоскости, в которую преобразуется плоскость 8 x – 3 y + z – 1 = 0 при центральной симметрии относительно начала координат.

7. Найдите уравнение плоскости, в которую преобразуется плоскость 5 x + 3 y – 7 z + 2 = 0 при осевой симметрии относительно оси аппликат.

8. Найдите уравнение плоскости, в которую преобразуется плоскость 2 xy + 11 z – 8 = 0 при зеркальной симметрии относительно координатной плоскости Oxy.

9. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку H (1,3,-1) параллельно плоскости 3 x + yz + 5 = 0.

10. Прямая задана точками A (6,0,2) и B (1,-3,4). Найдите координаты точки C (x, y,8), которая принадлежит прямой AB.

11. Найдите координаты единичного вектора , если он перпендикулярен векторам (3,3,0) и (0,3,3).

12. Найдите точку пересечения трех плоскостей 5 xz + 3 =0, 2 xy – 4 z + 5 = 0, 3 y + 2 z – 1 = 0.

13. Из точки A (x 0, y 0, z 0), лежащей вне сферы (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R 2, проведена к ней касательная MA, где точка M – точка касания. Найдите отрезок MA.

14. Найдите условие того, что две сферы (x – x 1)2 + (y – y 1)2 + (z – z 1)2 = R 12 и (x – x 2)2 + (y – y 2)2 + (z – z 2)2 = R 22касаются: а) внешним образом; б) внутренним образом.

15*. Найдите уравнение сферы, проходящей через начало координат и точки A (a,0,0), B (0, b,0), C (0,0, c). Докажите, что прямая, проходящая через начало координат перпендикулярно плоскости ABC, пересекает плоскость и сферу соответственно в точках M и N таких, что OM: ON = 1:3.

16*. Изобразите многогранник, задаваемый неравенствами: | x | + | y | + | z | 6; | x | 1; | y | 2; | z | 3.

17*. Найдите точку пересечения прямой, заданной системой уравнений с плоскостью 3 xy +2 z – 5 = 0.

18*. Изобразите спирали Архимеда, задаваемые уравнениями: r = ; r = 2 .

19*. Изобразите кривую, задаваемую уравнением r = sin4 .

20*. Найдите сферические координаты вершин прямоугольного параллелепипеда, который задается системой неравенств

Зачёт по геометрии №1 по теме «Аксиомы стереометрии. Параллельность прямых, прямой и плоскости»

Вариант 1.

1. Докажите теорему о плоскости, проходящей через прямую и точку, не лежащую

на ней.

2. Докажите теорему о трёх параллельных прямых.

 

Задача 1.

Точка М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD

параллельна плоскости ABM.

Задача 2.

Точка С лежит на отрезке АВ, причём АВ:ВС=4:3. отрезок CD, равный 12см,

параллелен плоскости α, проходящей через точку В. Докажите, прямая AD

пересекает плоскость α в некоторой точке Е, и найдите отрезок ВЕ.

 

Вариант 2.

1. Докажите теорему о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

2. Докажите признак параллельности прямой и плоскости.

 

Задача 1.

Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD. Докажите, что

прямая AD параллельна плоскости ВМС.

Задача 2.

На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и К так, что

DK=5см и BD:DA=2:3. Плоскость α проходит через точки В и С и параллельна

отрезку DK. Найдите длину отрезка ВС.

 

Вариант 3.

1. Докажите теорему о параллельных прямых.

2. Сформулируйте аксиомы стереометрии и сделайте рисунки.

 

Задача 1.

Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости α, а стороны АВ и ВС

пересекаются с этой плоскостью в точках М иN. Докажите, что АВС ~ МВN.

Задача 2.

Основание АВ трапеции АВСD параллельно плоскости α, а вершина С лежит в этой

плоскости. Докажите, что: а) основание CD лежит в плоскости α; б) средняя линия

трапеции параллельна плоскости α.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-10-30; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1170 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Студент всегда отчаянный романтик! Хоть может сдать на двойку романтизм. © Эдуард А. Асадов
==> читать все изречения...

2429 - | 2175 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.