Зачет № 7. Координаты и векторы

Вопросы

1. Прямоугольная система координат в пространстве (определение, названия, примеры).

2. История открытия прямоугольной системы координат.

3. Теорема о расстоянии между точками в пространстве (формулировка, доказательство).

4. Уравнение сферы с центром в точке A (x ₀, y ₀, z ₀) и радиусом R (формулировка, доказательство).

5. Понятие координат вектора (определение, примеры).

6. Теорема о разложении вектора по координатным векторам (формулировка, доказательство).

7. Теорема о координатах суммы двух векторов (формулировка, доказательство).

8. Понятие скалярного произведения векторов (определение, скалярный квадрат, примеры).

9. Теорема о выражении скалярного произведения векторов через их координаты (формулировка, доказательство).

10. Уравнение плоскости в пространстве (формулировка, доказательство).

11*. Уравнение прямой в пространстве (формулировка, доказательство).

12. Аналитическое задание фигур в пространстве (сфера, шар, цилиндр, многогранник).

13*. Понятие о задачах оптимизации (примеры, этапы решения).

14*. Полярная система координат на плоскости (определение, названия, примеры).

15*. Уравнение окружности в полярных координатах (вывод, изображение).

16*. Уравнение спирали Архимеда в полярных координатах (вывод, изображение).

17*. Уравнение логарифмической спирали в полярных координатах (вывод, изображение).

18*. Уравнение трилистника в полярных координатах (вывод, изображение).

19*. Сферические координаты в пространстве (определение, названия, примеры).

20*. Исторические сведения об измерении Земли.

Задачи

1. Докажите, что точки A (-1,3,4), B (-2,0,5), C (1,1,-3), D (2,4,-4) являются вершинами параллелограмма. Найдите косинус угла между его диагоналями.

2. Найдите расстояние от точки K (1,2,-7) до плоскости, заданной уравнением 12 x + 4 y + 3 z – 4 = 0.

3. Сфера (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R ² проходит через начало координат. Докажите, что уравнение касательной плоскости к сфере в начале координат имеет вид ax + by + cz = 0.

4. Найдите косинус угла между плоскостями 2 x + 3 y + 6 z – 5 = 0 и 4 x + 4 y + 2 z – 7 = 0.

5. Найдите условие касания двух сфер, заданных уравнениями (x – x ₁)² + (y – y ₁)² + (z – z ₁)² = R ₁²; (x – x ₂)² + (y – y ₂)²+ (z – z ₂)² = R ₂².

6. Найдите уравнение плоскости, в которую преобразуется плоскость 8 x – 3 y + z – 1 = 0 при центральной симметрии относительно начала координат.

7. Найдите уравнение плоскости, в которую преобразуется плоскость 5 x + 3 y – 7 z + 2 = 0 при осевой симметрии относительно оси аппликат.

8. Найдите уравнение плоскости, в которую преобразуется плоскость 2 x – y + 11 z – 8 = 0 при зеркальной симметрии относительно координатной плоскости Oxy.

9. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку H (1,3,-1) параллельно плоскости 3 x + y – z + 5 = 0.

10. Прямая задана точками A (6,0,2) и B (1,-3,4). Найдите координаты точки C (x, y,8), которая принадлежит прямой AB.

11. Найдите координаты единичного вектора , если он перпендикулярен векторам (3,3,0) и (0,3,3).

12. Найдите точку пересечения трех плоскостей 5 x – z + 3 =0, 2 x – y – 4 z + 5 = 0, 3 y + 2 z – 1 = 0.

13. Из точки A (x ₀, y ₀, z ₀), лежащей вне сферы (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R ², проведена к ней касательная MA, где точка M – точка касания. Найдите отрезок MA.

14. Найдите условие того, что две сферы (x – x ₁)² + (y – y ₁)² + (z – z ₁)² = R ₁² и (x – x ₂)² + (y – y ₂)² + (z – z ₂)² = R ₂²касаются: а) внешним образом; б) внутренним образом.

15*. Найдите уравнение сферы, проходящей через начало координат и точки A (a,0,0), B (0, b,0), C (0,0, c). Докажите, что прямая, проходящая через начало координат перпендикулярно плоскости ABC, пересекает плоскость и сферу соответственно в точках M и N таких, что OM: ON = 1:3.

16*. Изобразите многогранник, задаваемый неравенствами: | x | + | y | + | z | 6; | x | 1; | y | 2; | z | 3.

17*. Найдите точку пересечения прямой, заданной системой уравнений с плоскостью 3 x – y +2 z – 5 = 0.

18*. Изобразите спирали Архимеда, задаваемые уравнениями: r = ; r = 2 .

19*. Изобразите кривую, задаваемую уравнением r = sin4 .

20*. Найдите сферические координаты вершин прямоугольного параллелепипеда, который задается системой неравенств

Зачёт по геометрии №1 по теме «Аксиомы стереометрии. Параллельность прямых, прямой и плоскости»

Вариант 1.

1. Докажите теорему о плоскости, проходящей через прямую и точку, не лежащую

на ней.

2. Докажите теорему о трёх параллельных прямых.

 

Задача 1.

Точка М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD

параллельна плоскости ABM.

Задача 2.

Точка С лежит на отрезке АВ, причём АВ:ВС=4:3. отрезок CD, равный 12см,

параллелен плоскости α, проходящей через точку В. Докажите, прямая AD

пересекает плоскость α в некоторой точке Е, и найдите отрезок ВЕ.

 

Вариант 2.

1. Докажите теорему о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

2. Докажите признак параллельности прямой и плоскости.

 

Задача 1.

Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD. Докажите, что

прямая AD параллельна плоскости ВМС.

Задача 2.

На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и К так, что

DK=5см и BD:DA=2:3. Плоскость α проходит через точки В и С и параллельна

отрезку DK. Найдите длину отрезка ВС.

 

Вариант 3.

1. Докажите теорему о параллельных прямых.

2. Сформулируйте аксиомы стереометрии и сделайте рисунки.

 

Задача 1.

Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости α, а стороны АВ и ВС

пересекаются с этой плоскостью в точках М иN. Докажите, что АВС ~ МВN.

Задача 2.

Основание АВ трапеции АВСD параллельно плоскости α, а вершина С лежит в этой

плоскости. Докажите, что: а) основание CD лежит в плоскости α; б) средняя линия

трапеции параллельна плоскости α.