Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

1.Высота прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу.

2.Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу.

9)Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (синус, косинус, тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике). Основное тригонометрическое тождество. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Основное тригонометрическое тождество: sin² A + cos² A = 1.

 

α
sin α
cos α
tg α

Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (средняя линия трапеции), параллелен основаниям и равен полусумме оснований.

Параллельность доказывается по теореме Фалеса, далее проводится диагональ и рассматриваются средние линии образующихся треугольников.

Свойство биссектрисы треугольника.

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Доказательство проводится с помощью теоремы о треугольниках, имеющих равные углы и проведения общей высоты.

Окружность.

1. Взаимное расположение прямой и окружности. Свойство и признак касательной.

Прямая и окружность могут либо иметь две общие точки, либо иметь одну общую точку, либо не иметь общих точек.

Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, которая называется точкой касания.

Свойство касательной: касательная окружности перпендикулярна к ее радиусу, опущенному в точку касания. Следствие: отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром окружности.

Признак касательной: если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к нему, то она является касательной.

2. Вписанный угол. Теорема о вписанном угле. Следствия.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.

Теорема: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Теорема имеет три случая: 1) сторона вписанного угла является диаметром; 2)диаметр является биссектрисой вписанного угла; 3) диаметр не является ни стороной, ни биссектрисой вписанного угла. Доказательство:

1.Дополнительное построение – центральный угол; далее доказательство проводится через внешний угол равнобедренного треугольника.

2.Доказательство по доказанному (извините за тавтологию).

3.Доказательство с помощью вычитания углов. Дополнительное построение – диаметр.

Следствия: вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой; вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

3. Теорема об отрезках пересекающихся хорд.

Если 2 хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой. Доказательство: соединяем концы хорд, получаем 2 подобных треугольника, составляем соотношения сторон, далее по правилу пропорции (стр. 173 учебника).

4. Свойство биссектрисы угла (теорема, следствие)

Теорема: любая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе. Доказывается с помощью построение прямоугольных треугольников.

Следствие: биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от сторон треугольника. Доказательство: проводим биссектрисы и высоты, далее по доказанной теореме.

5. Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку.

Серединный перпендикуляр к отрезку – прямая, проходящая через отрезок под прямым углом и делящая его пополам.

Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Обратно: если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре.

Следствие: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство: проводим серединные перпендикуляры к сторонам треугольника и отрезки, соединяющие точку их пересечения с вершинами, далее – по теореме.

6. Теорема о пересечении высот треугольника.

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Доказательство: через вершины треугольника проводятся вершины, параллельные основаниям, доказывается, что высоты маленького треугольника – серединные перпендикуляры к сторонам другого, и, следовательно, пересекаются в одной точке.

7. Четыре замечательных точки треугольника.

· Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство с использованием свойства биссектрисы угла.

· Все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство с использованием свойства серединного перпендикуляра.

· Все высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Доказательство через построение большего треугольника и свойство серединного перпендикуляра.

· Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Доказательство через среднюю линию и подобие треугольников.

8. Теорема об окружности, вписанной в треугольник.

Вписанная окружность – это окружность, которая касается всех сторон многоугольника, описанного около нее.

Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство:

· Чтобы вписать в треугольник окружность, нужно в данном треугольнике найти точку, равноудаленную от всех его сторон – точку пересечения биссектрис О.

· Проведем окружность с центром в точке О и радиусом, равным расстоянию от О до любой стороны треугольника.

· Предположим, что в треугольник можно вписать 2 окружности. Тогда гипотетический центр второй окружности (точка О₁) совпадет с О, т. к. биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника, следовательно, эти окружности совпадут.

9. Теорема об окружности, описанной около треугольника.

Описанная окружность – окружность, проходящая через все вершины вписанного многоугольника.

Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, и при том только одну. Следствие: любые три точки, не лежащие на одной прямой, лежат на одной окружности.

Доказательство:

· Чтобы описать около треугольника окружность, нужно найти точку, равноудаленную от всех его вершин – точку пересечения серединных перпендикуляров О.

· Проведем окружность с центром в точке О и радиусом, равным расстоянию от О до любой вершины треугольника.

· Предположим, что около треугольника можно описать 2 окружности. Тогда гипотетический центр второй будет так же являться точкой пересечения серединных перпендикуляров и совпадет с центром первой окружности, следовательно, эти 2 окружности совпадут.

10. Свойство описанного четырехугольника.

В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Доказательство с использованием теоремы о секущих, проведенных из одной точки.

Обратно: если суммы противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность.

Доказательство.

 

Дано: АВ + CD = BC + AD.

Точка пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от АВ, BC и AD, следовательно, можно провести окружность с центром в точке пересечения этих биссектрис, касающуюся как минимум трех сторон.

Предположим, что CD не касается окружности. Тогда она либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей.

Рассмотрим первый случай: CD не касается окружности. Проведем EF – касательную к окружности, параллельную CD. Так как ABEF – описанный четырехугольник, то АВ + EF = BЕ + AF. Но ВЕ = ВС – ЕС и AF = AD – FD, следовательно, EF + ЕС + FD = BC + AD – АВ. По условию,
АВ + CD = BC + AD, или BC + AD – АВ = CD. Получается, EF + ЕС + FD = CD, то есть в четырехугольнике ЕСDF одна сторона равна сумме трех других, что невозможно. Аналогично доказывается, что CD не является секущей.

 

11. Свойство вписанного четырехугольника.

Теорема: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов. Доказательство через вписанные углы.

Обратная теорема: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 градусов, то около него можно описать окружность. Доказательство: от противного с использованием теоремы о секущих, пересекающихся в окружности, и задачи 718 (стр. 189).