1.Высота прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу.
2.Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу.
9)Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (синус, косинус, тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике). Основное тригонометрическое тождество. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Основное тригонометрическое тождество: sin2 A + cos2 A = 1.
| α | |||
| sin α | 
| 
| 
|
| cos α |
|
|
|
| tg α | 
| 
|
Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (средняя линия трапеции), параллелен основаниям и равен полусумме оснований.
Параллельность доказывается по теореме Фалеса, далее проводится диагональ и рассматриваются средние линии образующихся треугольников.
Свойство биссектрисы треугольника.
Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Доказательство проводится с помощью теоремы о треугольниках, имеющих равные углы и проведения общей высоты.
Окружность.
1. Взаимное расположение прямой и окружности. Свойство и признак касательной.
Прямая и окружность могут либо иметь две общие точки, либо иметь одну общую точку, либо не иметь общих точек.
Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, которая называется точкой касания.
Свойство касательной: касательная окружности перпендикулярна к ее радиусу, опущенному в точку касания. Следствие: отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром окружности.
Признак касательной: если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к нему, то она является касательной.
2. Вписанный угол. Теорема о вписанном угле. Следствия.
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.
Теорема: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Теорема имеет три случая: 1) сторона вписанного угла является диаметром; 2)диаметр является биссектрисой вписанного угла; 3) диаметр не является ни стороной, ни биссектрисой вписанного угла. Доказательство:
1.Дополнительное построение – центральный угол; далее доказательство проводится через внешний угол равнобедренного треугольника.
2.Доказательство по доказанному (извините за тавтологию).
3.Доказательство с помощью вычитания углов. Дополнительное построение – диаметр.
Следствия: вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой; вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
3. Теорема об отрезках пересекающихся хорд.
Если 2 хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой. Доказательство: соединяем концы хорд, получаем 2 подобных треугольника, составляем соотношения сторон, далее по правилу пропорции (стр. 173 учебника).
4. Свойство биссектрисы угла (теорема, следствие)
Теорема: любая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе. Доказывается с помощью построение прямоугольных треугольников.
Следствие: биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от сторон треугольника. Доказательство: проводим биссектрисы и высоты, далее по доказанной теореме.
5. Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку.
Серединный перпендикуляр к отрезку – прямая, проходящая через отрезок под прямым углом и делящая его пополам.
Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Обратно: если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре.
Следствие: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство: проводим серединные перпендикуляры к сторонам треугольника и отрезки, соединяющие точку их пересечения с вершинами, далее – по теореме.
6. Теорема о пересечении высот треугольника.
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Доказательство: через вершины треугольника проводятся вершины, параллельные основаниям, доказывается, что высоты маленького треугольника – серединные перпендикуляры к сторонам другого, и, следовательно, пересекаются в одной точке.
7. Четыре замечательных точки треугольника.
· Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство с использованием свойства биссектрисы угла.
· Все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство с использованием свойства серединного перпендикуляра.
· Все высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Доказательство через построение большего треугольника и свойство серединного перпендикуляра.
· Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Доказательство через среднюю линию и подобие треугольников.
8. Теорема об окружности, вписанной в треугольник.
Вписанная окружность – это окружность, которая касается всех сторон многоугольника, описанного около нее.
Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Доказательство:
· Чтобы вписать в треугольник окружность, нужно в данном треугольнике найти точку, равноудаленную от всех его сторон – точку пересечения биссектрис О.
· Проведем окружность с центром в точке О и радиусом, равным расстоянию от О до любой стороны треугольника.
· Предположим, что в треугольник можно вписать 2 окружности. Тогда гипотетический центр второй окружности (точка О1) совпадет с О, т. к. биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника, следовательно, эти окружности совпадут.
9. Теорема об окружности, описанной около треугольника.
Описанная окружность – окружность, проходящая через все вершины вписанного многоугольника.
Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, и при том только одну. Следствие: любые три точки, не лежащие на одной прямой, лежат на одной окружности.
Доказательство:
· Чтобы описать около треугольника окружность, нужно найти точку, равноудаленную от всех его вершин – точку пересечения серединных перпендикуляров О.
· Проведем окружность с центром в точке О и радиусом, равным расстоянию от О до любой вершины треугольника.
· Предположим, что около треугольника можно описать 2 окружности. Тогда гипотетический центр второй будет так же являться точкой пересечения серединных перпендикуляров и совпадет с центром первой окружности, следовательно, эти 2 окружности совпадут.
10. Свойство описанного четырехугольника.
В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Доказательство с использованием теоремы о секущих, проведенных из одной точки.
Обратно: если суммы противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность.
Доказательство.
 | |||
 | |||
Дано: АВ + CD = BC + AD.
Точка пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от АВ, BC и AD, следовательно, можно провести окружность с центром в точке пересечения этих биссектрис, касающуюся как минимум трех сторон.
Предположим, что CD не касается окружности. Тогда она либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей.
Рассмотрим первый случай: CD не касается окружности. Проведем EF – касательную к окружности, параллельную CD. Так как ABEF – описанный четырехугольник, то АВ + EF = BЕ + AF. Но ВЕ = ВС – ЕС и AF = AD – FD, следовательно, EF + ЕС + FD = BC + AD – АВ. По условию,
АВ + CD = BC + AD, или BC + AD – АВ = CD. Получается, EF + ЕС + FD = CD, то есть в четырехугольнике ЕСDF одна сторона равна сумме трех других, что невозможно. Аналогично доказывается, что CD не является секущей.
11. Свойство вписанного четырехугольника.
Теорема: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов. Доказательство через вписанные углы.
Обратная теорема: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 градусов, то около него можно описать окружность. Доказательство: от противного с использованием теоремы о секущих, пересекающихся в окружности, и задачи 718 (стр. 189).
