Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны

Углы и треугольники

Углы, измерение углов. Виды углов. Смежные углы, их свойство. Вертикальные углы, их свойства.

Угол – геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки. Угол делит плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю области угла.

Градус – угол, равный 180 части развернутого угла.

Развернутый угол – угол, обе стороны которого лежат на одной прямой.

Смежные углы – 2 угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга. Сумма градусных мер смежных углов равна 180 градусов.

Вертикальные углы – углы, в которых стороны одного угла являются продолжениями другого. Вертикальные углы равны, что доказывается через свойство смежных углов.

Треугольники, их виды по углам и сторонам.

Треугольник – геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и отрезков, соединяющих эти точки.

Остроугольный треугольник – треугольник, в котором все углы острые.

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой, а два остальных – острые.

Тупоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол тупой, а два других – острые.

Равнобедренный треугольник – треугольник, две стороны которого равны между собой.

Равносторонний треугольник – треугольник, все стороны которого равны.

Признаки равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

1.Рассмотрим треугольники ABC и А₁В₁С₁, у которых АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, углы А и А₁ равны. Докажем, что ABC и А₁В₁С₁ равны.

2.Так как угол А равен углу А₁, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так, что вершина А совместится с вершиной А₁, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁С₁ и А₁С₁ соответственно.

3.Поскольку АВ = А₁В₁ и АС = А₁С₁, то при наложении АВ совместится со стороной А₁В₁, а сторона АС – со стороной А₁С₁; в частности, совместятся точки А и А₁, В и В₁, следовательно, совместятся стороны ВС и В₁С₁. Итак, треугольники ABC и А₁В₁С₁ полностью совместятся, значит, они равны, .

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

1. Рассмотрим треугольники ABC и А₁В₁С₁, у которых АВ = А₁В₁, углы А и А₁, В и В₁ соответственно равны.

2.Наложим треугольник АВС на треугольник А₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, сторона АВ – с равной ей стороной А₁В₁, а вершины С и С₁ оказались бы по одну сторону от прямой А₁В₁.

3.Так как углы А и А₁, В и В₁ соответственно равны, то сторона АС наложится на луч А₁С₁, а сторона ВС – на луч В₁С₁. Следовательно, вершина С – общая точка сторон АС и ВС – окажется лежащей как на луче А₁С₁, так и на луче А₁В₁ и совместится с общей точкой этих лучей – вершиной С₁. Итак, треугольники ABC и А₁В₁С₁ полностью совместятся, поэтому они равны, .