Дана система n уравнений первого порядка
yi ' = fi (x, y 1, y 2, ¼, yn), i = 1, 2, ¼, n (4.2)
и начальные условия
y 1(x 0) = y 10, y 2(x 0) = y 20, ¼, yn (x 0) = yn 0. (4.3)
Для отыскания численного решения системы (4.2) с начальными условиями (4.3) вычисляют для некоторых значений аргумента x 1, x 2, ¼, xN (x 0 < x 1 < x 2 < ¼ < xN) значений функций y 1(x), y 2(x), ¼, yn (x), являющиеся искомым решением, т.е. составляют n таблиц
[ yi (x 1), yi (x 2), ¼, yi (xN)] i = 1, 2, ¼, n.
К данной задаче применимы все методы, рассмотренные для случая одного дифференциального уравнения, если в вышеприведённых формулах заменить yk на yik (yik = yi (xk)) и fk на fik (fik = fi (xk, y 1 k, y 2 k, ¼, ynk)). Например, расчётная формула метода Эйлера (2) для системы запишется так
{ yi (k +1) = yik + hfik } i = 1, 2, ¼, n.
Дифференциальные уравнения второго порядка
Дано дифференциальное уравнение
y '' = f (x, y, y ') (4.4)
и начальные условия
y (x 0) = y 0, y '(x 0) = y 0'. (4.5)
Для отыскания численного решения этой задачи требуется составит таблицу значений функции y = y (x), являющейся искомым решением, для некоторой последовательности значений аргумента x 1, x 2, ¼, xn (x 0 < x 1 < x 2 < ¼ < xn). Иногда требуют также составления таблицы производной y '(x).
Метод приведения к системам уравнений первого порядка
Ведём обозначение
y ' = z.
Решение дифференциального уравнения (4.4) с начальными условиями (4.5) сводится к решению следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с указанными начальными условиями:
Метод Рунге – Кутты
Схема Рунге – Кутты с четырьмя подстановками, имеющая погрешность порядка h 5:
| x | v 0 = y | v 1 = hy ' | k = 
| |
| x 0 | v 00 | v 10 | k 1 | |
| x 0 + h /2 | v 00 + v 10/2 + k 1/4 | v 10 + k 1 | k 2 | |
| x 0 + h /2 | v 00 + v 10/2 + k 2/4 | v 10 + k 2 | k 3 | |
| x 0 + h | v 00 + v 10 + k 3 | v 10 + 2 k 3 | k 4 | |
| x 1 = x 0 + h | v 01 = v 00 + v 10 + k (0) | v 11 = v 10 + k (1) | ||
| k (0) = (k 1 + k 2 + k 3)/3, k (1) = (k 1 +2 k 2 + 2 k 3 + k 4)/3 |
Метод конечных разностей
Экстраполяционные формулы Фалькнера:
Интерполяционные формулы Фалькнера:
При использовании данных разностных формул следует поступать так же, как в методе Адамса (7).
Задание № 8
Найти одним из методов решение задачи Коши на промежутке [0, a ]. Конец промежутка интегрирования a указан для каждой задачи. Решение получить с 5 верными знаками после запятой.
В отчёте привести программу решения задачи, таблицу значений функции и график функции. Проверить результаты решения, используя какой-либо из математических пакетов.
Вариант А
| Вариант | Уравнения задачи | a | b | а |
| 1.1 | 2.1 | 0.4 | |
| -"- | 1.2 | 2.2 | -"- | |
| -"- | 1.3 | 2.3 | -"- | |
| -"- | 1.4 | 2.4 | -"- | |
| -"- | 1.5 | 2.5 | -"- | |
| 1.1 | 2.1 | 0.4 | |
| -"- | 1.2 | 2.2 | -"- | |
| -"- | 1.3 | 2.3 | -"- | |
| -"- | 1.4 | 2.4 | -"- | |
| -"- | 1.5 | 2.5 | -"- | |
| 1.1 | 2.1 | 0.6 | |
| -"- | 1.2 | 2.2 | -"- | |
| -"- | 1.3 | 2.3 | -"- | |
| -"- | 1.4 | 2.4 | -"- | |
| -"- | 1.5 | 2.5 | -"- | |
| 1.1 | 2.1 | 0.6 | |
| -"- | 1.2 | 2.2 | -"- | |
| -"- | 1.3 | 2.3 | -"- | |
| -"- | 1.4 | 2.4 | -"- | |
| -"- | 1.5 | 2.5 | -"- | |
| 1.1 | 2.1 | 0.4 | |
| -"- | 1.2 | 2.2 | -"- | |
| -"- | 1.3 | 2.3 | -"- | |
| -"- | 1.4 | 2.4 | -"- | |
| -"- | 1.5 | 2.5 | -"- |
Вариант Б
| Вариант | Уравнения задачи | a | b | а |
| 1.1 | 2.1 | 0.8 | |
| -"- | 1.2 | 2.2 | -"- | |
| -"- | 1.3 | 2.3 | -"- | |
| -"- | 1.4 | 2.4 | -"- | |
| -"- | 1.5 | 2.5 | -"- | |
| 1.1 | 2.1 | 0.8 | |
| -"- | 1.2 | 2.2 | -"- | |
| -"- | 1.3 | 2.3 | -"- | |
| -"- | 1.4 | 2.4 | -"- | |
| -"- | 1.5 | 2.5 | -"- | |
| 1.1 | 2.1 | 0.5 | |
| -"- | 1.2 | 2.2 | -"- | |
| -"- | 1.3 | 2.3 | -"- | |
| -"- | 1.4 | 2.4 | -"- | |
| -"- | 1.5 | 2.5 | -"- | |
| 1.1 | 2.1 | 0.8 | |
| -"- | 1.2 | 2.2 | -"- | |
| -"- | 1.3 | 2.3 | -"- | |
| -"- | 1.4 | 2.4 | -"- | |
| -"- | 1.5 | 2.5 | -"- | |
| 1.1 | 2.1 | 1.0 | |
| -"- | 1.2 | 2.2 | -"- | |
| -"- | 1.3 | 2.3 | -"- | |
| -"- | 1.4 | 2.4 | -"- | |
| -"- | 1.5 | 2.5 | -"- |
Замечание 1. В рамках математических пакетов численное решение систем дифференциальных уравнений первого порядка отличается только размерностью векторов и матриц. Например, в рамках пакета Maple решение системы трёх ОДУ выглядит следующим образом:
Отличительной особенностью пакета Maple является то, что в его рамках можно численно решать ОДУ произвольного порядка, не разделяя его на систему ОДУ первого порядка. Ниже приведён подробный пример решения такого уравнения.
Замечание 2. Отмеченное выше справедливо и для пакета Mathcad, поэтому ниже мы приведём лишь команды решения уравнений без таблицы значений функции. В данном пакете важно то обстоятельство, что для пространственных кривых используется Scatterplot /
