Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Дана система n уравнений первого порядка

y_i ' = f_i (x, y ₁, y ₂, ¼, y_n), i = 1, 2, ¼, n (4.2)

и начальные условия

y ₁(x ₀) = y ₁₀, y ₂(x ₀) = y ₂₀, ¼, y_n (x ₀) = y_{n 0}. (4.3)

Для отыскания численного решения системы (4.2) с начальными условиями (4.3) вычисляют для некоторых значений аргумента x ₁, x ₂, ¼, x_N (x ₀ < x ₁ < x ₂ < ¼ < x_N) значений функций y ₁(x), y ₂(x), ¼, y_n (x), являющиеся искомым решением, т.е. составляют n таблиц

[ y_i (x ₁), y_i (x ₂), ¼, y_i (x_N)] i = 1, 2, ¼, n.

К данной задаче применимы все методы, рассмотренные для случая одного дифференциального уравнения, если в вышеприведённых формулах заменить y_k на y_ik (y_ik = y_i (x_k)) и f_k на f_ik (f_ik = f_i (x_k, y _{1 k}, y _{2 k}, ¼, y_nk)). Например, расчётная формула метода Эйлера (2) для системы запишется так

{ y_{i (k +1)} = y_ik + hf_ik } i = 1, 2, ¼, n.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дано дифференциальное уравнение

y '' = f (x, y, y ') (4.4)

и начальные условия

y (x ₀) = y ₀, y '(x ₀) = y ₀'. (4.5)

Для отыскания численного решения этой задачи требуется составит таблицу значений функции y = y (x), являющейся искомым решением, для некоторой последовательности значений аргумента x ₁, x ₂, ¼, x_n (x ₀ < x ₁ < x ₂ < ¼ < x_n). Иногда требуют также составления таблицы производной y '(x).

Метод приведения к системам уравнений первого порядка

Ведём обозначение

y ' = z.

Решение дифференциального уравнения (4.4) с начальными условиями (4.5) сводится к решению следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с указанными начальными условиями:

Метод Рунге – Кутты

Схема Рунге – Кутты с четырьмя подстановками, имеющая погрешность порядка h ⁵:

	x	v 0 = y	v 1 = hy '	k =
	x 0	v 00	v 10	k 1
	x 0 + h /2	v 00 + v 10/2 + k 1/4	v 10 + k 1	k 2
	x 0 + h /2	v 00 + v 10/2 + k 2/4	v 10 + k 2	k 3
	x 0 + h	v 00 + v 10 + k 3	v 10 + 2 k 3	k 4
	x 1 = x 0 + h	v 01 = v 00 + v 10 + k (0)	v 11 = v 10 + k (1)
	k (0) = (k 1 + k 2 + k 3)/3, k (1) = (k 1 +2 k 2 + 2 k 3 + k 4)/3

 

Метод конечных разностей

Экстраполяционные формулы Фалькнера:

Интерполяционные формулы Фалькнера:

При использовании данных разностных формул следует поступать так же, как в методе Адамса (7).

Задание № 8

Найти одним из методов решение задачи Коши на промежутке [0, a ]. Конец промежутка интегрирования a указан для каждой задачи. Решение получить с 5 верными знаками после запятой.

В отчёте привести программу решения задачи, таблицу значений функции и график функции. Проверить результаты решения, используя какой-либо из математических пакетов.

Вариант А

Вариант	Уравнения задачи	a	b	а
		1.1	2.1	0.4
	-"-	1.2	2.2	-"-
	-"-	1.3	2.3	-"-
	-"-	1.4	2.4	-"-
	-"-	1.5	2.5	-"-
		1.1	2.1	0.4
	-"-	1.2	2.2	-"-
	-"-	1.3	2.3	-"-
	-"-	1.4	2.4	-"-
	-"-	1.5	2.5	-"-
		1.1	2.1	0.6
	-"-	1.2	2.2	-"-
	-"-	1.3	2.3	-"-
	-"-	1.4	2.4	-"-
	-"-	1.5	2.5	-"-
		1.1	2.1	0.6
	-"-	1.2	2.2	-"-
	-"-	1.3	2.3	-"-
	-"-	1.4	2.4	-"-
	-"-	1.5	2.5	-"-
		1.1	2.1	0.4
	-"-	1.2	2.2	-"-
	-"-	1.3	2.3	-"-
	-"-	1.4	2.4	-"-
	-"-	1.5	2.5	-"-

 

Вариант Б

Вариант	Уравнения задачи	a	b	а
		1.1	2.1	0.8
	-"-	1.2	2.2	-"-
	-"-	1.3	2.3	-"-
	-"-	1.4	2.4	-"-
	-"-	1.5	2.5	-"-
		1.1	2.1	0.8
	-"-	1.2	2.2	-"-
	-"-	1.3	2.3	-"-
	-"-	1.4	2.4	-"-
	-"-	1.5	2.5	-"-
		1.1	2.1	0.5
	-"-	1.2	2.2	-"-
	-"-	1.3	2.3	-"-
	-"-	1.4	2.4	-"-
	-"-	1.5	2.5	-"-
		1.1	2.1	0.8
	-"-	1.2	2.2	-"-
	-"-	1.3	2.3	-"-
	-"-	1.4	2.4	-"-
	-"-	1.5	2.5	-"-
		1.1	2.1	1.0
	-"-	1.2	2.2	-"-
	-"-	1.3	2.3	-"-
	-"-	1.4	2.4	-"-
	-"-	1.5	2.5	-"-

 

Замечание 1. В рамках математических пакетов численное решение систем дифференциальных уравнений первого порядка отличается только размерностью векторов и матриц. Например, в рамках пакета Maple решение системы трёх ОДУ выглядит следующим образом:

 

Отличительной особенностью пакета Maple является то, что в его рамках можно численно решать ОДУ произвольного порядка, не разделяя его на систему ОДУ первого порядка. Ниже приведён подробный пример решения такого уравнения.

 

Замечание 2. Отмеченное выше справедливо и для пакета Mathcad, поэтому ниже мы приведём лишь команды решения уравнений без таблицы значений функции. В данном пакете важно то обстоятельство, что для пространственных кривых используется Scatterplot /