. . , ..
"
"
071900 " "
2001
. - . 071900, .
, , .. ( , ) , . , . - (, , ) . , , , .
( ) y (x) () . : , . .
. y (x) xi, .. . y (x) () , .. j(), () . x , y (x) j(x). a = { a 1, a 2, , an } .
, .
, j(, ) () n ,
|
|
j(xi, a 1, a 2, , an) = y (xi) º yi, 1 £ i £ n, (1.1)
ai. . , ..
j(, ) , ..
(1.2)
j k (x) -. , j k (x) . (1.2) (2.1), ak :
(1.3)
, ( ) (1.3) :
(1.4)
, (1.4), . , - .
, , .
. j k (x) = xk, 0 £ k £ n, , ,
(1.5)
y (x 0, x 1, ¼, xk) k- ,
(1.6)
.. , . , h = xj xi D ny, D ny = n! y (x 0, x 1, ¼, xn). (1.5) :
(1.5,a)
, . .1.1 () (1.5).
1.1. (1.5)
x 0 | y (x 0) | |||
y (x 0, x 1) | ||||
x 1 | y (x 1) | y (x 0, x 1, x 2) | ||
y (x 1, x 2) | y (x 0, x 1, x 2, x 3) | |||
x 2 | y (x 2) | y (x 1, x 2, x 3) | ||
y (x 2, x 3) | ||||
x 3 | y (x 3) |
, (1.5). , . , , ; , .
1.1. , , . . 1.2 , () = sin(p×x/6).
1.2. 1.1
xi | y (xi) | y (xi, xi +1) | y (xi, xi +1, xi +2) | y (xi, ¼, xi +3) |
0,000000 | ||||
0,500000 | ||||
0,500000 | -0,066987 | |||
0,366025 | -0,016346 | |||
0,866025 | -0,116025 | |||
0,133975 | ||||
1,000000 |
|
|
, ,
(1,5) = 0 + (1,5 0)×0,500 (1,5 0) × (1,5 1) × 0,066987 -
- (1,5 0) × (1,5 1) × (1,5 2) × 0,016346 = 0,705890.
0,17 % (1,5) = sin(45o) = 0,707107. , . 1.2, 0,002.
. . y (x) y (xi) xi = x (yi).
(0). , , .
1.2.
y(x) º (1 + x) e 0,5 x 2,5 = 0.
4- :
0 0,5 1,0 1,5
- 1,5 - 0,573962 0,797443 2,792500
, .
1.3. 1.2
yi | xi | x(yi, yi +1 ) | x(yi, yi +1, yi +2) |
- 1,5 | |||
0,539935 | |||
- 0,573962 | 0,5 | - 0,076322 | |
0,364590 | |||
0,797443 | 1,0 | - 0,033855 | |
0,250619 | |||
1,792500 | 1,5 |
:
x(0) x 0 + (0 y 0 ) × x(y 0, y 1 ) + (0 y 0 ) × (0 y 1 ) × x(y 0, y 1, y 2 ) =
= 0 + 1,5 × 0,539935 1,5 × 0,573962 × 0,076322 = 0,744193.
0,732965, 1,53 %, .. . , , .
. , () , .
() j(, ) y '(x) = j'(x, a). x i = x xi, :
, . , :
(1.7)
1.3. , .1.4, 0,04170; 0,529394; 0,707282; 0,142933 () = 1,509393. , .
1.4. 1.3
x | y (x) | x | y (x) |
0,0 | 1,534906 | 0,5 | 1,458955 |
0,1 | 1,517093 | 0,6 | 1,448162 |
0,2 | 1,500482 | 0,7 | 1,438994 |
0,3 | 1,485191 | 0,8 | 1,431485 |
0,4 | 1,471320 | 0,9 | 1,425652 |
.
1.5.
xi | y (xi) | y (xi, xi +1) | y (xi, xi +1, xi +2) | y (xi, , xi +3) | y (xi, , xi +4) |
0,0 | 1,534906 | ||||
- 0,17867 | |||||
0,1 | 1,517093 | 0,0628 | |||
- 0,16611 | 0,01067 | ||||
0,2 | 1,500482 | 0,0660 | 0,015 | ||
- 0,15291 | 0,01667 | ||||
0,3 | 1,485191 | 0,0710 | - 0,005825 | ||
- 0,13871 | 0,01433 | ||||
0,4 | 1,471320 | 0,0753 | 0,0000 | ||
- 0,12365 | 0,01433 | ||||
0,5 | 1,458955 | 0,0796 | - 0,022075 | ||
- 0,10793 | 0,0055 | ||||
0,6 | 1,448162 | 0,08125 | 0,0004175 | ||
- 0,09168 | 0,005667 | ||||
0,7 | 1,438994 | 0,08295 | - 0,00625 | ||
- 0,07509 | 0,003167 | ||||
0,8 | 1,431485 | 0,0838 | |||
- 0,05833 | |||||
0,9 | 1,425652 |
|
|
, , .
= 0,041470 . ,
y(0,041470) 1,534906 (0,041470 0) × 0,17867 + (0,041470 0) ´
´ (0,041470 0,1) × 0,0628 + (0,041470 0) × (0,041470 0,1) × (0,04147 0,2) × 0,01067 =
@ 1,527385,
0,00005.
= 0,529394 . , = 0,5.
y(0,529394) 1,458955 (0,529394 0,5) × 0,10793 + (0,529394 0,5) × (0,529394 0,6) ´
´ 0,08125 + (0,529394 0,5) × (0,529394 0,6) × (0,52394 0,7) × 0,005667 @ 1,455621.
, . , , = 0,8.
y(0,707282) 1,431485 (0,707282 0,8) × 0,07509 + (0,707282 0,8) × (0,707282 0,7) ´
´ 0,08295 + (0,707282 0,8) × (0,707282 0,7) × (0,707282 0,6)× 0,005667 @ 1,438908.
= 0,142933 , 0 = 0,1,
y ' (0,142933) - 0,16611 + [(0,142933 0,1) + (0,142933 0,2)] × 0,066 +
+ [(0,142933 0,1) × (0,142933 0,2) + (0,142933 0,1) × (0,142933 0,3) +
+ (0,142933 0,2) × (0,142933 0,3)] × 0,01667 @ - 0,167047.
() = 1,509393 . , , .
yi | x (yi) | x (yi, yi +1) | x (yi, yi +1, yi +2) | x (yi, yi +1, yi +2, yi +3) |
1,517093 | 0,1 | |||
- 6,019745 | ||||
1,500482 | 0,2 | 16,301486 | ||
- 6,539795 | - 145,416818 | |||
1,485191 | 0,3 | 22,957650 | ||
- 7,209286 | ||||
1,471320 | 0,4 |
x(1,509393) 0,1 (1,509393 1,517093) × 6,019745 + (1,509393 1,517093) × (1,509393 - 1,500482) × 16,301486 - (1,509393 1,517093) × (1,509393 1,500482) × (1,509393 1,485191) ´ ´ 145,416818 @ 0,145475.
1
, , 1, 2, 3, () = . , .
|
|
( ). 1.3.
x | y (x) | x | y (x) |
0,0 | 0,946083 | 0,5 | 1,324684 |
0,1 | 1,028685 | 0,6 | 1,389181 |
0,2 | 1,108047 | 0,7 | 1,449592 |
0,3 | 1,183958 | 0,8 | 1,505817 |
0,4 | 1,256227 | 0,9 | 1,557775 |
1 | 2 | 3 | |||
0,175418 | 0,715878 | 0,464331 | 0,817438 | 1,344273 | |
0,090566 | 0,826611 | 0,395142 | 0,329982 | 1,534355 | |
0,157369 | 0,826216 | 0,445135 | 0,045464 | 1,273228 | |
0,053526 | 0,866027 | 0,610308 | 0,645041 | 1,435993 | |
0,109658 | 0,710092 | 0,468515 | 0,199282 | 1,026087 | |
0,094189 | 0,755627 | 0,343888 | 0,406476 | 1,058530 | |
0,132747 | 0,755108 | 0,447232 | 0,398774 | 1,390474 | |
0,058421 | 0,731564 | 0,429815 | 0,549309 | 1,417970 | |
0,053946 | 0,807395 | 0,455020 | 0,406727 | 1,373800 | |
0,182461 | 0,717093 | 0,525286 | 0,897085 | 1,197522 | |
0,173762 | 0,759231 | 0,482714 | 0,248933 | 1,470054 | |
0,129140 | 0,766507 | 0,238812 | 0,518578 | 1,183944 |
x | y (x) | x | y (x) |
0,0 | 0,962852 | 0,5 | 1,337904 |
0,1 | 1,044824 | 0,6 | 1,401593 |
0,2 | 1,123512 | 0,7 | 1,461175 |
0,3 | 1,199709 | 0,8 | 1,516552 |
0,4 | 1,270228 | 0,9 | 1,567630 |
1 | 2 | 3 | |||
0,052914 | 0,882964 | 0,391986 | 0,541089 | 1,189116 | |
0,147327 | 0,721404 | 0,355038 | 0,051982 | 1,564167 | |
0,148489 | 0,822272 | 0,544808 | 0,707369 | 1,573997 | |
0,070926 | 0,801307 | 0,213966 | 0,670379 | 1,547732 | |
0,124548 | 0,769617 | 0,303341 | 0,473246 | 1,504725 | |
0,009510 | 0,844211 | 0,417157 | 0,181704 | 1,094108 | |
0,087996 | 0,778350 | 0,546174 | 0,291991 | 1,110465 | |
0,051598 | 0,709740 | 0,542017 | 0,726683 | 1,404176 | |
0,083288 | 0,887920 | 0,517459 | 0,367139 | 1,484642 | |
0,174607 | 0,802430 | 0,240569 | 0,285460 | 1,275640 | |
0,172537 | 0,819656 | 0,698720 | 0,830955 | 1,331830 | |
0,160270 | 0,851787 | 0,463563 | 0,486052 | 1,307859 |
y (x) | x | y (x) | |
0,0 | 1,848652 | 0,5 | 1,833125 |
0,1 | 1,851659 | 0,6 | 1,821948 |
0,2 | 1,851401 | 0,7 | 1,808622 |
0,3 | 1,848081 | 0,8 | 1,793390 |
0,4 | 1,841914 | 0,9 | 1,776501 |
1 | 2 | 3 | |||
0,102067 | 0,783267 | 0,233571 | 0,701138 | 1,775720 | |
0,063358 | 0,845391 | 0,479810 | 0,016395 | 1,836223 | |
0,076951 | 0,757948 | 0,534155 | 0,758749 | 1,830957 | |
0,148489 | 0,728158 | 0,614515 | 0,492288 | 1,846149 | |
0,115456 | 0,778255 | 0,568848 | 0,877666 | 1,815639 | |
0,151273 | 0,836281 | 0,621168 | 0,319084 | 1,842761 | |
0,144289 | 0,757769 | 0,497664 | 0,018630 | 1,808383 | |
0,113056 | 0,901257 | 0,492267 | 0,070493 | 1,775438 | |
0,029295 | 0,895077 | 0,544469 | 0,786666 | 1,781802 | |
0,120383 | 0,762649 | 0,493649 | 0,297184 | 1,850931 | |
0,176574 | 0,770618 | 0,413157 | 0,062844 | 1,849610 | |
0,152489 | 0,745512 | 0,409483 | 0,386388 | 1,836708 |
x | y (x) | x | y (x) |
0,0 | 1,849524 | 0,5 | 1,831074 |
0,1 | 1,851862 | 0,6 | 1,819447 |
0,2 | 1,850975 | 0,7 | 1,805720 |
0,3 | 1,847068 | 0,8 | 1,790137 |
0,4 | 1,840359 | 0,9 | 1,772946 |
1 | 2 | 3 | |||
0,044427 | 0,823677 | 0,570277 | 0,756676 | 1,804051 | |
0,127215 | 0,787367 | 0,353208 | 0,669386 | 1,774512 | |
0,137938 | 0,886153 | 0,514296 | 0,812431 | 1,780675 | |
0,034406 | 0,874237 | 0,463792 | 0,697030 | 1,830502 | |
0,123011 | 0,739399 | 0,308672 | 0,295801 | 1,847906 | |
0,020533 | 0,823018 | 0,372752 | 0,848340 | 1,792606 | |
0,119622 | 0,790245 | 0,459663 | 0,273649 | 1,820115 | |
0,032266 | 0,883370 | 0,273037 | 0,644472 | 1,826426 | |
0,177173 | 0,725458 | 0,414551 | 0,131848 | 1,781212 | |
0,042385 | 0,748684 | 0,347492 | 0,511049 | 1,829010 | |
0,060953 | 0,888796 | 0,514699 | 0,875722 | 1,808055 | |
0,101105 | 0,711049 | 0,315694 | 0,705710 | 1,823896 |
|
|
(). . . y j(x), a £ x £ b.
. () j() . y (xi) , , - . , .
. j()
(1.8)
j k (x) -. i - y (xi) º yi , Ri = j(xi) yi. , (1.8)
(1.9)
i = 1, 2, ¼, I , n . " " ak , , ..
R 2 = min. (1.10)
(1.11)
, j k (x) = xk, (1.11)
(1.12)
r i . , , .
, (1.12) . , n (1.12) . , n 2 ¸ 5, (112) .
, ak . , .
. , . ( ) 1.3 Mathcad, Maple MATLAB.
Mathcad ; Y. . 1.2.
. 1.1. Mathcad
, , (. . 1.2). , , (, ), . . 1.2, 1, .. .
Maple . -, interp(X, Y, v), Y , Mathcad, v . , .. , .
. 1.2.
Maple ( ) . , (. 1.3).
, , , . , , . . 1.4 ( , ) , . ; .
. 1.3. Maple
. 1.4.
, . , Maple solve. , .
MATLAB , , polyfit(X,Y,n), n . . . polyval(p, X), . , . 1.5.
. 1.5. MATLAB
(. 1.6):
>> plot(X, Y, 'ob', X, y)
. 1.6.
Excel. , , . , y (xi) xi, ..
y (x) = a + bx + cx 2.
R 2 =
yi = y (xi), a, b c
.
2
, , ( Excel Microsoft Office), 1, 2, 3, () = . .
() | () | ||
0,0 | 0.979498 | 0,5 | 1,350965 |
0,1 | 1,060831 | 0,6 | 1,413842 |
0,2 | 1,138837 | 0,7 | 1,472590 |
0,3 | 1,213312 | 0,8 | 1,527116 |
0,4 | 1,248076 | 0,9 | 1,577351 |
1 | 2 | 3 | |||
0,047475 | 0,805753 | 0,653213 | 0,577700 | 1,423549 | |
0,104834 | 0,865748 | 0,634411 | 0,220322 | 1,361976 | |
0,095092 | 0,861356 | 0,490247 | 0,355379 | 1,314712 | |
0,133412 | 0,879781 | 0,473981 | 0,821980 | 1,472912 | |
0,069174 | 0,793965 | 0,465591 | 0,456153 | 1,498836 | |
0,076449 | 0,702410 | 0,552699 | 0,020310 | 1,580131 | |
0,086081 | 0,711768 | 0,446462 | 0,830259 | 1,479177 | |
0,045216 | 0,721249 | 0,670968 | 0,064005 | 1,429159 | |
0,182628 | 0,729050 | 0,433820 | 0,743754 | 1,097459 | |
0,155091 | 0,892695 | 0,403838 | 0,000455 | 0,981061 | |
0,118535 | 0,884719 | 0,589080 | 0,490510 | 1,399221 | |
0,041623 | 0,839124 | 0,294268 | 0,902946 | 1,048028 |
() | () | ||
0,0 | 0,996021 | 0,5 | 1,363865 |
0,1 | 1,076705 | 0,6 | 1,425925 |
0,2 | 1,154020 | 0,7 | 1,483835 |
0,3 | 1,227768 | 0,8 | 1,537508 |
0,4 | 1,297768 | 0,9 | 1,586879 |
1 | 2 | 3 | |||
0,143689 | 0,915777 | 0,599657 | 0,095444 | 1,018375 | |
0,042666 | 0,825305 | 0,584323 | 0,573204 | 1,262410 | |
0,165626 | 0,705625 | 0,456150 | 0,346457 | 1,445709 | |
0,126742 | 0,748197 | 0,450881 | 0,777682 | 1,467961 | |
0,096649 | 0,801334 | 0,629973 | 0,914914 | 1,342491 | |
0,064256 | 0,843814 | 0,373073 | 0,759432 | 1,362658 | |
0,071993 | 0,742732 | 0,474374 | 0,648813 | 1,567605 | |
0,105362 | 0,711920 | 0,524242 | 0,160211 | 1,585812 | |
0,159355 | 0,819366 | 0,337411 | 0,563150 | 1,427805 | |
0,161147 | 0,900531 | 0,252948 | 0,609420 | 1,146269 | |
0,104874 | 0,852465 | 0,470731 | 0,272350 | 1,033643 | |
0,175694 | 0,779153 | 0,306156 | 0,767306 | 1,551797 |
() | () | ||
0,0 | 1,850260 | 0,5 | 1,828928 |
0,1 | 1,851937 | 0,6 | 1,816862 |
0,2 | 1,850428 | 0,7 | 1,802744 |
0,3 | 1,845943 | 0,8 | 1,786820 |
0,4 | 1,838700 | 0,9 | 1,769337 |
1 | 2 | 3 | |||
0,070782 | 0,933883 | 0,532991 | 0,913222 | 1,847893 | |
0,057504 | 0,740810 | 0,300079 | 0,419130 | 1,825998 | |
0,156507 | 0,759066 | 0,665331 | 0,882467 | 1,808450 | |
0,188887 | 0,733400 | 0,521501 | 0,297946 | 1,771221 | |
0,199791 | 0,895346 | 0,529348 | 0,163911 | 1,775305 | |
0,118051 | 0,747759 | 0,394174 | 0,871601 | 1,771558 | |
0,117019 | 0,819226 | 0,504759 | 0,743122 | 1,790246 | |
0,045029 | 0,705874 | 0,513963 | 0,437270 | 1,784766 | |
0,164030 | 0,728025 | 0,227815 | 0,868064 | 1,811010 | |
0,085978 | 0,777671 | 0,494874 | 0,303219 | 1,828668 | |
0,097120 | 0,858195 | 0,315239 | 0,377217 | 1,799677 | |
0,149490 | 0,705743 | 0,487051 | 0,882789 | 1,841611 |
() | () | ||
0,0 | 1,850859 | 0,5 | 1,826690 |
0,1 | 1,851883 | 0,5 | 1,814195 |
0,2 | 1,849763 | 0,7 | 1,799696 |
0,3 | 1,844708 | 0,8 | 1,783440 |
0,4 | 1,836941 | 0,9 | 1,765676 |
1 | 2 | 3 | |||
0,149737 | 0,747740 | 0,566665 | 0,332744 | 1,851871 | |
0,097144 | 0,850730 | 0,445502 | 0,910664 | 1,846796 | |
0,135971 | 0,868823 | 0,373904 | 0,511079 | 1,766612 | |
0,072560 | 0,847703 | 0,502299 | 0,664096 | 1,849372 | |
0,150472 | 0,723186 | 0,339706 | 0,133476 | 1,788283 | |
0,119440 | 0,826031 | 0,337938 | 0,869169 | 1,811741 | |
0,137092 | 0,879423 | 0,550316 | 0,820591 | 1,789388 | |
0,090480 | 0,851292 | 0,509452 | 0,685084 | 1,771309 | |
0,094842 | 0,783729 | 0,621566 | 0,160136 | 1,831897 | |
0,153709 | 0,752197 | 0,357420 | 0,859274 | 1,833945 | |
0,048033 | 0,758573 | 0,361878 | 0,418896 | 1,844793 | |
0,042689 | 0,831531 | 0,504781 | 0,388134 | 1,812163 |
(2.1)
f (x) [ a, b ], r(x) (a, b).