Формулы современной величины

 

Пример 3.4. Какую сумму нужно внести в банк, выплачивающий 5% годовых, чтобы иметь возможность в течении последующих 6 лет ежегодно получать по 1000 у.е. (Предполагается, что после последней выплаты на счете нечего не останется).

 

Решение:

 

 

Чтобы через 1 год получить 1000 у.е., надо в начале вложить 1000∙ (1+0,05)^-1 у.е.

Чтобы через 2 года получить 1000 у.е., надо в начале вложить

1000∙ (1+0,05)^-2 у.е.

…

Чтобы через 6 лет получить 1000 у.е., надо в начале вложить

1000∙ (1+0,05)^-6 у.е.

Таким образом, чтобы в течение 6 лет получать по 1000 у.е., надо в начале вложить следующую сумму:

A = 1000∙ (1+0,05)^-1 + 1000∙ (1+0,05)^-2 + 1000∙ (1+0,05)^-3 + 1000∙

∙ (1+0,05)^-4 + +1000∙ (1+0,05)^-5 + 1000∙ (1+0,05)^-6 ;

A = 1000∙ (1,05^-1 + 1,05^-2 +1,05^-3 +1,05^-4 +1,05^-5 +1,05^-6) = 5075,69 (у.е.)

 

В общем виде формула имеет вид:

A = R∙ [(1+i)^-1 + (1+i)^-2 +…+ (1+i)^-n]

 

В квадратных скобках сумма членов геометрической прогрессии:

(3.7)

где

R – годовой платеж;

i – процентная ставка.

 

Если платежи производят «р» раз в году, а начисление процентов «j» производят «m» раз в году, то формула имеет вид:

 

 

(3.8)

 

Если m = p, количество платежей равно количеству периодов начисления процентов.

(3.9)

 

Пример 3.4. Взят кредит 120000 рублей для приобретения жилья. Срок погашения кредита – 2 года. Процентная ставка – 25% годовых при ежемесячном начислении процентов. Каковы должны быть ежемесячные платежи, если по условию кредитного соглашения они должны быть одинаковыми?

 

Дано:	Решение:
A = 120000 руб. m = p = 12 j = 0,25 = 25% n = 2 года
R/m =?	Ответ: 6404,58 рублей.

 

Другими словами, получив кредит на 2 года под 25% годовых при ежемесячном начислении процентов, заемщику придется в течении 2 лет каждый месяц платить 6404,58 рублей.

 

Всего за 2 года будет заплачено 6404,58∙ 24 = 153709,98 рублей.

 

 

План погашения кредита.

 

Одним из пунктов кредитного соглашения, как правило, является план погашения кредита. Рассмотрим план погашения кредита на примере:

 

Пример 3.5. Кредит 100000 рублей взят на 4 года под 20% годовых, начисляемых на непогашенный остаток по схеме сложных процентов. Возвращать надо равными суммами в конце каждого года. Составить план погашения кредита.

 

 

Дано:	Решение:
A = 100000 руб. j = 0,20 = 20% n = 4 года
R =?	Ответ: 38628,91 рублей.

Таблица 1. План погашения кредита.

 

№	Сумма долга на начало периода руб.	Сумма процентных денег за период, руб.	Погасительный платеж руб.	Сумма погашенного долга, руб.
			38628,91	18628,91
	81371,09	16274,22	38628,91	22354,69
	59016,40	11803,28	38628,91	26825,63
	32190,77	6438,14	38628,91	32190,77
	Итого	54515,64	154515,64	100000,00

 

1) Заполняем столбец 4:

В каждой строке этого столбца записываем 38628,91. Это означает, что каждый год за кредит придется платить по 38628,91 рублей.

2) В 1 ^ой строке столбца 2 записываем сумму долга – 100000 рублей.

3) В 1 ^ой строке столбца 3 записываем сумму процентных денег - 100000∙0,20 = 20000 рублей.

4) В 1 ^ой строке столбца 5 записываем сумму погашаемого долга за 1 ^й год – 38628 – 20000 = 18628,91 рублей.

5) Во 2 ^й строке столбца 2 записываем сумму долга на начало 2 ^го года – 100000 – 18628,91 = 81671,09 рублей.

6) Во 2 ^й строке столбца 3 записываем сумму процентных денег за 2 ^ой год – 81371,09∙0,20 = 16274,22 рублей.

7) Во 2 ^й строке столбца 5 записываем сумму погашения долга за 2 ^ой год – 81371,09∙0,20 = 16274,22 рубля.

Далее все аналогично рассчитывается для 3 ^го и 4 ^го годов и заполняется вся таблица 1. Причем сумма всех значений: в столбце 5 (сумма погашенного долга) должна быть равна сумме кредита; в столбце 3 – сумма всех выплаченных процентных денег; в столбце 4 (все заплаченные за кредит деньги) равна сумме итоговых значений в столбце 3 и столбце 5.

 

Рассмотрим тот же самый пример для случая, когда проценты начисляются несколько раз в году.

 

Пример 3.6. Кредит 100000 рублей взят на 4 года под 20% годовых, начисляемых на непогашенный остаток ежемесячно. Возвращать надо равными суммами в конце каждого года. Составить план погашения кредита.

 

Дано:	Решение:
A = 100000 руб. j = 0,20 = 20% n = 4 года m = 12 p = 1
R =?	Ответ: 40056,90 рублей.

 

Таблица 2. План погашения кредита.

№	Сумма долга на начало периода, Руб.	Сумма процентных денег за период, руб.	Погасительный платеж, руб.	Сумма погашенного долга, руб.
		21939,11	40056,90	18117,79
	81882,21	17964,23	40056,90	22092,67
	59789,54	13117,29	40056,90	26939,61
	32849,93	7206,97	40056,90	32849,93
	Итого	60227,60	160227,60	100000,00

1) Заполняем столбец 4.

В каждой строке этого столбца записываем 40056,90 рублей. Это означает, что каждый год за кредит придется платить по 40056,90 рублей.

2) В 1 ^ой строке столбца 2 записываем сумму долга – 100000 рублей.

3) В 1 ^ой строке столбца 3 записываем сумму процентных денег –

 

 

4) В 1 ^ой строке столбца 5 записываем сумму погашенного долга за 1 ^й год – 40056,90 – 21939,11 = 18117,79 рублей.

5) Во 2 ^ой строке столбца 2 записываем сумму долга на начало 2 ^го года – 100000 – 18117,79 = 81882,21 рублей.

6) Во 2 ^ой строке столбца 3 записываем сумму процентных денег за

2 ^ой год –

 

7) Во 2 ^ой строке столбца 5 записываем сумму погашенного долга за 2 ^ой год – 40056,90 – 17964,23 = 22092,67 рублей.

Далее все аналогично рассчитывается для 3 ^го и 4 ^го годов и заполняется вся таблица 2.

Итого заплачено за кредит 160227,60 рублей из них 100000,00 рублей – основной долг и 60227,60 рублей – процентные деньги.

 

Инфляция

 

Понятие инфляции.

Инфляция – это процесс обесценивания национальной валюты, т.е. снижения ее покупательной способности и общего повышения цен в стране.

Инфляция по-разному влияет на участников кредитного соглашения. Кредитор может потерять часть своего дохода из-за обесценивания денежных средств. Заемщик наоборот выигрывает, т.к. может погасить задолжность денежными средствами сниженной покупательной способности.

Рассмотрим процесс влияния инфляции на результат финансовых операций.

Один из параметров, характеризующих инфляцию, – это уровень инфляции за год α. Он показывает на сколько процентов за год из-за инфляции вырастут цены.

Если L – первоначальная цена товара, то

 

 

(1+ α)ⁿ = I_a – индекс инфляции. Он показывает, во сколько раз выросли цены на товары из-за инфляции за рассматриваемый период.

Отметим, что индекс инфляции вычисляется по формулам, похожим на формулы сложных процентов. Если рассматриваемый период не является целым числом, т.е. n=n₀+l, где n₀ – целое число лет, а l – дробное, то:

 

Пример 4.1. Уровень инфляции 23%. Найти индекс инфляции за 7 месяцев.

Дано:	Решение:
n0 = 0 l = 7/12 α = 23% = 0,23
Ia =?	Ответ: это означает, что в среднем цены за 7 месяцев вырастут на 13,41%.