Эффективная годовая процентная ставка

 

Эффективная годовая процентная ставка (i_e) – это простая процентная ставка, которая начисляется за 1 год и дает такой же результат, что и ставка сложных процентов «j», начисляемая «m» раз в году. Из определения следует:

 

 

отсюда:

(2.6)

 

Эффективная годовая процентная ставка используется для выявления наиболее благоприятных условий для вкладов в банки и получения кредитов.

 

Пример 2.8. Банки предлагают следующие условия для вкладов:

1^й банк – 36% годовых начисляемых по полугодиям (j =0.36; m = 2),

2^й банк – 35% годовых начисляемых по кварталам (j = 0.35; m = 4),

3^й банк – 34% годовых начисляемых ежемесячно (j = 0.34; m = 12).

Какой банк предлагает наилучшие условия для вкладов?

 

Решение данной задачи заключается в нахождении эффективной годовой процентной ставки (i_e) для каждого банка. Где она выше, там условия для вкладов лучше.

1) Для 1 ^го банка:

2) Для 2 ^го банка:

3) Для 3 ^го банка:

 

Самая высокая эффективная, годовая процентная ставка 39,87%, у 2 ^го банка, т.е. значит, он предлагает самые выгодные условия для вкладов.

 

Пример 2.9. Первый банк дает кредит под 30% годовых при ежеквартальном начислении процентов. Второй банк дает кредит под 29% годовых при ежемесячном начислении процентов. В каком банке выгоднее взять кредит?

 

Решение:

Кредит выгоднее взять в том банке, где эффективная годовая процентная ставка ниже.

 

1) Для 1 ^го банка:

2) Для 2 ^го банка:

 

Ответ: Кредит выгоднее взять во втором банке.

 

Расчет срока кредита и процентных ставок.

 

Рассмотрим формулы, используемые для решения задач такого типа на двух примерах.

 

Пример 2.10. За какой срок первоначальный капитал в 50000 рублей увеличится до 70000 рублей, если на него начисляется 25% годовых:

a) начисление процентов по простой ставке:

b) начисление процентов по ставке сложных процентов:

c) начисление процентов ежемесячно (m=12).

Решая данную задачу, выведем три формулы.

Решение:

a) Для простых процентов

 

(2.7)

 

Формула для подсчета срока кредита в годах, если нужно срок вычислить в днях, то:

 

(2.8)

 

Дано:	Решение:
P = 50000 руб. S = 70000 руб. i = 25% = 0,25
n =?	Ответ: а) 1,60 лет.

b) для сложных процентов:

 

От обеих частей берем десятичный логарифм:

 

(2.9)

c)

Для сложных процентов при начислении процентов «m» раз в году.

 

(2.10)

 

Пример 2.11. Какова должна быть процентная ставка, чтобы первоначальный капитал 40000 рублей достиг 55000 рублей за 2 года? Решить данную задачу для случаев:

a) Проценты простые;

b) Проценты сложные;

c) Начисление процентов ежемесячное.

 

Решение:

a) Для простых процентов:

 

 

(2.11)

 

	(2.12)
Дано:	Решение:
P = 40000 руб. S = 55000 руб. n = 2 года
i =?	Ответ: а) 18.75%.

 

b) Для сложных процентов:

 

 

(2.13)

 

 

c) Начисление процентов «m» раз в году:

 

 

(2.14)

 

 

 

Потоки платежей

 

В кредитном соглашении, как правило, предусматривается не одноразовое погашение всей суммы долга, а определенное количество выплат, распределенных во времени.

Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом.

Финансовая рента имеет следующие параметры:

Ø член ренты – величина каждого отдельного платежа;

Ø период ренты – временный интервал между двумя соседними платежами;

Ø срок ренты – время от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода;

Ø процентная ставка – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей;

Ø число платежей в году;

Ø число начислений процентов в году;

Ø моменты платежа внутри периода ренты.

 

Формулы наращенной суммы.

 

Пример 3.1. Клиент может вносить в банк в конце каждого года 1000 у.е. Какая сумма будет им накоплена на счете через 3 года, если банк платит 4% по депозиту?

 

Решение:

 

 

Первый взнос 1000 у.е. пробудет на счете 2 года и превратится в сумму: 1000∙ (1+0,04)² = 1081,60 (у.е.)

Второй взнос1000 у.е. пробудет на счете 1 год и превратится в сумму:

1000∙ (1+0,04) = 1040 (у.е.)

На третий взнос проценты не начисляются.

Итого на счете у клиента будет сумма:

1000∙ (1+0,04)⁰ + 1000∙ (1+0,04)¹ + 1000∙ (1+0,04)² = 3121,60 у.е.

Рассмотрим данную задачу в общем виде. Клиент в конце каждого года вносит в банк вклад «R». Найти сумму на счете через «n» лет, если банк начисляет сложные проценты по ставке «i».

S = R∙ (1+i)⁰ + R∙ (1+i)¹ + R∙ (1+i)² + … + R∙ (1+i)^n-1;

S = R∙ [(1+i)⁰ + (1+i)¹ + (1+i)² + … + (1+i)^n-1].

В квадратных скобках сумма членов геометрической прогрессии, используя формулу для ее вычисления, получим:

(3.1)

Решим выше приведенный пример по формуле (3.1):

 

Дано:	Решение:
R = 1000 у.е. n = 3 года i = 0,04 = 4%
S =?	Ответ: 3121.60 y.e.

 

Рассмотренный пример финансовой ренты, когда платежи были в конце периода начисления процентов, называется постнумерандо или обычной рентой (Ordinary Annuity).

Если в указанном примере клиент делает взносы по 1000 у.е. в начале каждого года, то

 

В общем случае формула имеет вид:

(3.2)

 

Этот вид ренты называется пренумерандо (Annuity Due).

Если начисление процентов производится «m» раз в году, а платежи «p» раз в году, то формула принимает вид:

 

 

(3.3)

 

(3.3) – расчеты по формуле постнумерандо.

(3.4)

 

(3.4) – расчеты по схеме пренумерандо.

 

Пример 3.2. Раз в квартал делается взнос в банк по схеме пренумерандо в размере 400 у.е. Какая сумма будет на счете через 5 лет, если ставка сложных процентов 8% годовых при ежемесячном начислении процентов:

 

Дано:	Решение:
R/p = 400 у.е. p = 4 m = 12 i = 0,08 = 8% n = 5 лет
S =?	Ответ: 9927,83 y.e.

Всего же будет заплачено за 5 лет сумма 400 у.е.∙ 20 = 8000 у.е.

 

На практике встречаются случаи, когда «m» = «р», т.е. количество периодов начисления процентов и число платежей в году одинаково. Тогда в формулах (3.3) и (3.4) вместо «р» ставят «m».

 

 

Расчеты по схеме постнумерандо:

(3.5)

 

Расчеты по схеме пренумерандо:

(3.6)

 

 

Пример 3.3. Руководство фирмы считает, что через 5 лет используемое оборудование морально устареет и его нужно будет обновить. Для этой цели фирме нужно накопить 10000 у.е. Каковы должны быть ежемесячные платежи, если процентная ставка 6% годовых при ежемесячном начислении процентов?

 

Дано:	Решение:
S = 10000 у.е. m = p = 12 j = 0,06 = 6% n = 5 лет
R/m =?	Ответ: 143.33 y.e.

 

Формулы (3.5) и (3.6) используются при решении задач, связанных с регулярными выплатами: формирования инвестиционного, пенсионного, страхового, резервного, накопительного фондов и т.п.