Начисление сложных процентов при дробном количестве лет

 

Пример 2.2. Банк начисляет на вклад 10000 рублей 20% годовых по ставке сложных процентов. Найти сумму на счете через 2,5 года.

 

Дано:	Решение:
P = 10000 руб. n = 2,5 лет i = 20% = 0,20	1) Математический метод: S = 10000· (1 + 0,20)2,5 = 15774,41 (руб.) 2) Банковский метод: S = 10000· (1 + 0,20)2· (1 + 0,5· 0,2) = 15840 (руб.)
S =?	Ответ: 1) 15774,41 руб. 2) 15840 руб.

 

2^й способ более употребительный и в общем виде формула выглядит следующим образом:

(2.2)

где

n = n_o + l,

n_o – целая часть;

l – дробная часть срока пользования кредита в годах.

 

Пример 2.3. Вклад в банк 10000 рублей под 20% годовых по ставке сложных процентов. Найти сумму на счете через 3 года 5 месяцев.

 

Дано:	Решение:
P = 10000 руб. no = 3 лет i = 20% = 0,20 l = 5/12 года
S =?	Ответ: 18720 рублей.

 

 

Номинальная процентная ставка.

Начисление процентов несколько раз в году.

 

Пример 2.4. Вклад в банк 10000 рублей под 20% годовых при ежеквартальном начислении процентов. Найти сумму на счете через 2 года.

Решение:

Количество интервалов m = 4 (в году 4 квартала). На каждом интервале действует ставка:

 

 

где

j = 20% - номинальная годовая ставка.

Количество периодов начисления j = 4· 2= 8 (m· n –количество кварталов)

 

В общем виде формула выглядит следующим образом:

(2.3)

где

P – первоначальная сумма;

j – номинальная процентная ставка;

m – число периодов начисления процентов в году;

n – срок в годах.

 

Пример 2.5. Кредит 25000 рублей выдан на 1,5 года под 20% годовых при ежемесячном начисления процентов. Найти возвращаемую сумму.

 

Дано:	Решение:
P = 25000 руб. n = 1,5 лет m = 12 j = 20% = 0,20
S =?	Ответ: 33663,13 рублей.

 

Начисление процентов несколько раз в году при

дробном количестве периодов начисления.

 

На практике срок пользования кредитом далеко не всегда представляется целым числом периодом начисления процентов. В этом случае используется формула:

(2.4)

где

n_o – целая часть, а l – дробная часть цикла периодов начисления.

 

Пример 2.6 Кредит в размере 50000 рублей выдан под 20% годовых, проценты начисляются ежеквартально. Какую сумму должен заплатить заемщик через 2 года и 7 месяцев?

 

Дано:	Решение:
P = 50000 руб. n = 2 года 7 месяцев m = 4 j = 20% = 0,20
S =?	Ответ: 82802,42 рублей.

 

Непрерывное начисление процентов.

В формуле (2.3):

где

m = 2, начисление процентов по полугодиям.

m = 4, начисление процентов по кварталам.

m = 12, начисление процентов по месяцам.

Все указанные выше случаи – дискретное начисление процентов.

В мировой практике встречается и непрерывное начисление процентов (m → ∞).

В этом случае:

(2.5)

где

e ≈ 2,718… - основание натуральных логарифмов.

 

Пример 2.7. Кредит 30000 рублей был выдан на 2 года под 20% годовых при непрерывном начислении процентов. Найти возвращаемую сумму.

 

Дано:	Решение:
P = 30000 руб. n = 2 года m → ∞ j = 20% = 0,20
S =?	Ответ: 44754,74 рублей.