Расчет статически неопределимой балки

(задача № 23)

Условие задачи

Рис. 4.36. Заданная балка

Балка, показанная на рис. 4.36, с шарниром в точке Е загружена сосредоточенной парой М. Требуется определить внутренние усилия и построить изогнутую ось балки.

Решение

Рис. 4.37. Основная система

Как было показано выше, заданная балка является один раз статически неопределимой. Выберем основную систему, отбросив одну лишнюю связь, например, подвижную опору в точке D (рис. 4.37). Опорную реакцию в точке D будем считать лишней неизвестной и обозначим буквой Х. Уравнением для определения лишней неизвестной является уравнение совместности деформаций. Для выбранной основной системы это условие, приравнивающее нулю прогиб балки в точке D: . Прогиб в точке D можно найти как сумму прогиба, вызванного заданной нагрузкой (парой сил М) и прогиба от лишней неизвестной Х, т. е. условие совместности деформаций можно записать так:

.

Будем искать прогиб методом Максвелла – Мора с использованием правила Верещагина. Сначала найдем . Для этого построим в основной системе эпюры изгибающего момента от заданной нагрузки (пары М в данной задаче) – М_М и изгибающего момента от единичной обобщенной силы, соответствующей искомому перемещению, – М ₁. Чтобы построить эпюру М_М, найдем опорные реакции. Горизонтальная реакция Н_А в балках при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки всегда равна нулю – это следует из уравнения равновесия "сумма проекций всех сил на горизонтальную ось равна нулю". Для определения трех других опорных реакций R_A, R_B и R_C составим три уравнения равновесия:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Рис. 4.38. Схемы балки и эпюры изгибающих моментов: а, б – от заданной нагрузки; в, г – от единичной силы; д, е – от лишней неизвестной

При составлении уравнений статики было принято, что все реакции действуют вверх, полученные знаки учтены в направлении реакций на рис. 4.38, а. Первое уравнение равновесия связано с наличием шарнира в точке Е балки и показывает, что изгибающий момент в шарнире равен нулю, то есть сумма моментов всех сил слева (или справа) от шарнира равна нулю. Эпюра изгибающих моментов М_М от заданной нагрузки показана на рис. 4.38, б. Чтобы построить эпюру изгибающих моментов от единичной обобщенной силы, приложим эту силу к балке. Поскольку определяем прогиб в точке D, то согласно методу Максвелла – Мора прикладываем в точке D сосредоточенную силу, равную единице (рис. 4.38, в). Находим опорные реакции и строим эпюру М ₁ аналогично выполненному ранее построению эпюры М_М (рис. 4.38, г). Вычисляем прогиб в точке по формуле Максвелла – Мора, перемножая эпюры М_М и М ₁:

.

Теперь ищем прогиб в точке D от лишней неизвестной Х – . Строим эпюру М_Х (рис. 4.38, е) и перемножаем ее с эпюрой М ₁, пользуясь правилом Верещагина:

.

Складываем и , находим полное перемещение и в соответствии с условием совместности деформаций приравниваем его нулю:

.

Отсюда .

Рис. 4.39. Окончательные эпюры внутренних усилий в заданной балке

Итак, мы нашли лишнюю неизвестную Х из условия совместности деформаций. Прикладываем ее к заданной системе, не меняя направления, так как значение Х получилось положительным. Строим окончательные эпюры внутренних усилий и от заданных нагрузок (пары сил М), и от лишней неизвестной Х. Эти эпюры показаны на рис. 4.39, б, в.

Заканчиваем решение проверкой результатов. Часто можно обнаружить ошибку, если построить изогнутую ось балки. Изогнутая ось должна удовлетворять как эпюре моментов, которая показывает, в какую сторону направлена выпуклость оси балки после изгиба, так и условиям закрепления балки. На рис. 4.39, а показана деформированная ось балки, удовлетворяющая указанным условиям. Заметим, что из-за наличия шарнира возможен перелом изогнутой оси в точке Е, так как сечения, примыкающие к шарниру поворачиваются на разные углы. Если не удается построить изогнутую ось так, чтобы она удовлетворяла всем условиям, то следует искать ошибку. Эта проверка носит качественный характер и не всегда дает возможность найти ошибку в вычислениях. Проверкой, подтверждающей правильность вычисления лишней неизвестной, является условие (4.29), то есть результатом перемножения окончательной эпюры М с эпюрой изгибающих моментов от единичной обобщенной силы М ₁(по правилу Верещагина) должен быть ноль. Делая эту проверку, мы еще раз проверяем равенство нулю прогиба в точке D в нашей задаче, поскольку смыслом этого перемножения является согласно методу Максвелла – Мора определение перемещения по направлению обобщенной силы (прогиба в точке D в решаемой задаче). Проверим решение нашей задачи:

.