Пример 1
Условие задачи
Для балки, показанной на рис. 4.20, а, требуется найти прогиб в сечении С, угол поворота в сечении В аналитическим способом и проверить условие жесткости, если допускаемый прогиб равен l /100. Балка выполнена из дерева и имеет поперечное сечение из трех бревен радиусом 12 см. (Подбор сечения этой балки см. в разд. 4.1.2, пример 1.)
Решение
Для определения перемещений балки аналитическим способом составим дифференциальное уравнение изогнутой оси (4.16), используя правила Клебша записи выражения для изгибающего момента. Начало координат в рассматриваемой задаче рациональнее выбрать справа (в заделке). Распределенную нагрузку 
, которая не доходит до левого конца балки, продлим до сечения С (рис. 4.20, в). Выражение для изгибающего момента будет иметь такой вид:
.
Подставим это выражение в дифференциальное уравнение (4.16) и проинтегрируем его два раза:
;
;
.
Рис. 4.20. К решению примера 1 аналитическим способом:
а – схема балки с нагрузками; б) эпюры Q и М;
в – иллюстрация правил Клебша; г – изогнутая ось балки
|
Для определения постоянных С и D запишем граничные условия: в заделке (в сечении А, где находится начало координат) угол поворота и прогиб балки равны нулю, то есть
и 
.
Подставляя эти условия в выражения для угла поворота и прогиба на первом участке, найдем, что
и 
.
Теперь можно определить заданные перемещения. Для определения угла поворота в сечении В подставим в выражение для угла поворота на первом участке (только до черты с номером I) значение 
:
кН×м2.
В соответствии с правилом знаков отрицательный знак угла поворота для выбранного начала координат х справа означает, что поворот сечения происходит по часовой стрелке.
В сечении С, где требуется найти прогиб, координата х равна 
, и это сечение находится на третьем участке балки, поэтому подставляем х = 4 м в выражение для прогибов, используя слагаемые на всех трех участках:
кН·м3.
Знак минус у найденного прогиба показывает, что сечение С перемещается вверх. Покажем найденные перемещения на изогнутой оси балки. Чтобы нарисовать ось балки после деформации, построим эпюру изгибающих моментов (рис. 4.20, б). Положительный знак эпюры М на участке показывает, что балка на этом участке изгибается выпуклостью вниз, при отрицательном знаке М изогнутая ось имеет выпуклость вверх. Кроме того, деформированная ось балки должна удовлетворять условиям закрепления: в нашем случае на правом конце балка имеет жесткое защемление, и, как уже отмечалось при записи граничных условий, прогиб и угол поворота в защемлении должны равняться нулю. На рис. 4.20, г изображена ось рассматриваемой балки после деформации, удовлетворяющая этим условиям. На изогнутой оси показаны найденные прогиб в сечении С и угол поворота сечения В с учетом их знаков.
В заключение сосчитаем прогиб балки в сантиметрах, угол поворота в радианах и проверим условие жесткости. Найдем жесткость ЕI рассматриваемой деревянной балки из трех бревен радиусом 12 см. Момент инерции поперечного сечения
см4.
Модуль упругости дерева Е = 104 МПа = 103 кН / см2. Тогда
кН·см2.
Прогиб балки в сечении С
см,
а угол поворота сечения В
рад.
Очевидно (см. рис. 4.20, г), что найденный прогиб балки в сечении С является максимальным, поэтому для проверки условия жесткости сравним его с допускаемым прогибом. Для балки длиной 
м допускаемый прогиб согласно условию 
см. Таким образом, максимальный прогиб 
см меньше допускаемого, и условие жесткости выполняется.
Пример 2
Условие задачи
В балке с двумя консолями, показанной на рис. 4.21, а надо найти угол поворота сечения А и прогиб сечения D, используя аналитический способ. Сечение балки – двутавр № 24.
Решение
Выберем начало отсчета координаты х на левом конце балки в точке А и запишем выражение для изгибающего момента на всех участках с учетом правил Клебша:
.
Подставим это выражение в дифференциальное уравнение изогнутой оси (4.16) и проинтегрируем его дважды:
Рис. 4.21. К решению примера 2 аналитическим способом:
а – схема балки с нагрузками;
б – эпюры внутренних усилий;
в – изогнутая ось балки
|
;
.
Найдем произвольные постоянные С и D из граничных условий. В точках В и С, где находятся опоры, прогибы не возможны. Поэтому
,
.
Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными С и D. Решая эту систему, найдем С = 40 кН·м2, D = – 40 кН·м3. Проанализируем результат, используя геометрический смысл произвольных постоянных С и D. На рис. 4.21, в показана изогнутая ось балки, соответствующая эпюре изгибающих моментов и условиям закрепления. Точка А, находящаяся в начале координат, перемещается вверх, и поэтому следует ожидать, что 
будет иметь в соответствии с правилом знаков отрицательный знак. Сечение в точке А поворачивается по часовой стрелке, поэтому постоянная 
должна быть положительна. Полученные знаки С и D не противоречат проведенному анализу.
Теперь можно найти искомые перемещения. Угол поворота сечения А определим, подставив в выражение для 
на первом участке значение х = 0, то есть
кН·м2.
Чтобы найти прогиб в точке D, в выражение для прогибов 
подставляем 
м, используя все слагаемые этого выражения, так как точка находится на последнем третьем участке:
кН·м3.
Разделим полученные результаты на жесткость балки, чтобы сосчитать угол поворота в радианах, а прогиб в сантиметрах. Жесткость стальной двутавровой балки № 24:
кН·см2.
Угол поворота сечения А
рад.
Прогиб точки D
см.
Положительные знаки полученных перемещений свидетельствуют о том, что поворот сечения А происходит по часовой стрелке, а точка D перемещается вниз. Изогнутая ось балки с найденными перемещениями и точкой перегиба показана на рис. 4.21, в.
