Пример 2.2.1-2. Используя значения интерполирующей функции, заданной таблично,

выполнить сплайн-интерполяцию с использованием полиномов нулевой, первой и третьей степени, и получить значения функции в точке х=0.58.

Рис. 2.2.1-5. Вычисление функции в точке х=0.58

На рис. 2.2.1-6 и 2.2.1-7 приведены команды, необходимые для проведения интерполяции таблично заданной функции и построения графиков интерполируемой функции и интерполирующих ее интерполяционных многочленов различных степеней.

 

 

Рис. 2.2.2-6. Команды построения графиков интерполяционных функций

 

Рис. 2.2.2-7. Графики интерполирующих функций

 

 

Лабораторная работа по теме

«Технология аппроксимации интерполяции функций»

 

Вопросы, подлежащие изучению

 

1) Задание векторов и матриц в пакете Matlab.

2) Технология аппроксимации функции, заданной таблично, с использованием функций polyfit ().

3) Технология линейной, кубической и сплайн-интерполяции таблично заданной функции с использованием функций interp1().

4) Получение интерполяционных многочленов в явном виде.

5) Построение графиков аппроксимирующих и интерполирующих функций.

 

 

Общее задание

 

1) Изучите материал Темы 2.2. (п. 2.2.1).

2) Выберите индивидуальное задание: номера узлов и номер аппроксимируемой функции из табл. 2.2.2-1; узлы аппроксимации и значения функции в узлах из табл. 2.2.2-2.

3) Задайте в виде векторов значения узлов и значения функции в выбранных узлах.

4) Вычислите коэффициенты аппроксимирующих функций для линейной, квадратичной и кубической аппроксимации с использованием функции polyfit() и получите три аппроксимирующие функции в явном виде.

5) Получите с использованием этих функций значение аппроксимирующей функции в произвольной точке, принадлежащей отрезку, но не совпадающей с узлами аппроксимации, и сравните полученные результаты.

6) Постройте графики табличной и трех аппроксимирующих функций в одном шаблоне, снабдив их легендой.

7) Проведите линейную и кубическую интерполяцию функции с использованием функции interp1(), заданной таблично. Получив значения интерполирующей функции в точке, не совпадающей с узлами интерполяции, сравните полученные результаты.

8) Постройте графики табличной и двух интерполирующих функций в одном шаблоне, снабдив их легендой.

9) Представьте результаты работы преподавателю, ответьте на поставленные вопросы.

10) Выполните команду clear all.

11) Оформите отчет по выполненной работе.

3. Варианты заданий

Таблица 2.2.2-1

 

Вариант №	Номера узлов xi	Номер функции
	1 3 5 7 9 10 13
	1 2 4 5 7 10 12
	1 3 6 7 10 11 13
	1 2 4 7 9 11 13
	3 6 7 9 10 11 12
	2 3 6 8 9 10 13
	1 4 5 7 9 11 12
	1 2 4 7 9 12 13
	2 3 5 7 8 11 12
	1 3 6 7 9 10 13
	1 3 7 8 10 11 13
	1 2 5 6 7 10 12
	1 4 5 8 10 12 13
	1 3 5 7 9 10 13
	1 3 6 7 8 10 13
	1 4 5 7 9 11 12
	2 4 5 6 8 12 13
	1 4 5 7 9 11 12
	1 4 5 8 10 11 12
	2 4 5 6 8 12 13
	1 4 5 8 10 12 13
	2 3 6 8 9 10 13
	1 3 5 8 10 12 13
	1 4 5 7 9 11 12
	2 4 5 6 8 12 13
	3 4 5 7 8 9 12
	3 5 8 10 11 12 13
	2 4 7 9 10 11 13
	2 4 5 7 8 10 12
	1 4 5 7 9 11 13

 

Таблица 2.2.2-2

 

i	xi
	-5	1.38	2.44	1.676
	-4.5	1.221	2.359	2.025
	-4	1.511	1.751	1.736
	-3.5	1.501	2.13	1.203
	-3		1.455	1.511
	-2.5	0.728	1.482	1.362
	-2	0.976	1.437	0.75
	-1.5	1.065	0.803	0.976
	-1	0.599	1.175	0.957
	-0.5	0.192	0.49	0.272
		0.3	0.375	0.3
	0.5	0.319	-6.51*10-3	0.165
		-0.405	-1.965	-1.185

 

Содержание отчета

1) В форме комментариев:

· Название лабораторной работы

· ФИО студента, номер группы

· № варианта

· Индивидуальное задание

2) Протокол вычислений (сессии) в окне Command Window, снабженный необходимыми комментариями.

Контрольные вопросы по теме

1) Что такое аппроксимация функции и в каких случаях она используется?

2) В чем отличие аппроксимации от интерполяции?

3) Какой метод аппроксимации реализован в функции polyfit()?

4) Что служит результатом выполнения функции polyfit()?

5) Для чего предназначена функция polyval()?

6) Назначение и формат функции interp1()?

7) Каким параметром определяется тип интерполяции в функции interp1()?

 

Тема 2.3. Технология интегрирования
в среде MatLab

2.3.1. Вычисление неопределенных и определенных интегралов

2.3.2. Лабораторная работа по теме «Технология интегрирования

в среде MatLab»

2.3.3. Контрольные вопросы по теме

 

 

2.3.1. Вычисление неопределенных и
определенных интегралов

 

При вычислении определенных интегралов первообразную функцию F(x) не всегда удается выразить аналитически, а кроме того иногда подынтегральная функция f(x) задана в виде таблицы (x_i и y_i, где i = 1, 2, …, n). Это приводит к необходимости использования численных методов интегрирования.

Существует ряд методов численного интегрирования. Во всех этих методах вычисление осуществляется по приближенным формулам, называемым квадратурами.

Суть получения формул численного интегрирования состоит в том, что на элементарных отрезках интегрирования подынтегральную функцию заменяют простейшим интерполяционным полиномом, который легко может быть проинтегрирован в аналитическом виде. Так, например, для получения формул прямоугольников, трапеций и Симпсона используют полиномы соответственно нулевой, первой и второй степени.

Формулы прямоугольников:

где:

h – шаг интегрирования;

y_i – значение подынтегральной функции от аргумента x_i, k=0, 1, …,n;

n – число разбиений интервала интегрирования a, b.

Формула трапеций:

где:

h – шаг интегрирования;

y₀ – значение подынтегральной функции при х = a;

y_n – значение подынтегральной функции при х = b;

 

Формула Симпсона:

 

Для символьного вычисления неопределенных и определенных интегралов используется функция Matlab int(), которая может иметь один из следующих форматов:

· int(S) – возвращает символьное значение неопределенного инте­грала от символьного выражения или массива символьных выражений S по переменной, которая автоматически определяется функцией findsym(). Если S – скаляр или матрица, то вычисляется интеграл по переменной 'х'.

· int(S, v) – возвращает неопределенный интеграл от S по символьной перемен­ной v.

· int(S, a, b) – возвращает определенный интеграл от S с пределами интегрирования от а до b, причем пределы интегрирования могут быть как символьными, так и числовыми.

· int(S, v, a, b) – возвращает определенный интеграл от S по пере­менной v с пределами от а до b.

 

Ниже приведены примеры использования функции Matlab int()
(рис. 2.3.1-1).

 

 

Рис. 2.3.1-1. Примеры вычисления интегралов

 

В системе MatLab функции вычисления интегралов используют численные методы трапеции, Симпсона и некоторые другие. Рассмотрим технологию интегрирования с использованием некоторых функций.

Для вычисления интеграла по формуле трапеции в MatLab используется функция trapz(x,y). Эта функция возвращает значение интеграла от функции y(x), которая может быть представлена вектором или матрицей. Если y(x) – матрица, то функция возвращает вектор значений интеграла каждого столбца матрицы. Если вектор узлов не задан - trapz(y), то в качестве ординат x используются индексы вектора y (x=1:length(y)), где функция определяет длину вектора y. Важно, что узлы по оси x могут быть как равноотстоящими, так и неравноотстоящими.

Рассмотрим несколько примеров вычисления значений определенных интегралов методом трапеций при различных способах задания узлов подынтегральной функции (рис. 2.3.1-2).

 

Рис. 2.3.1-2. Вычисление определенных интегралов с использованием

ФункцииMatlab trapz()

 

Для вычисления интеграла по формуле Симпсона в MatLab применяется функция quad(). При обращении к этой функции шаг интегрирования не задается, а используется параметр – требуемая точность вычисления интеграла.

Минимальная форма обращения к функции – q=quad('f',a,b), где f – имя функции, взятое в одинарные кавычки, второй и третий аргументы – пределы интегрирования.

 

Рис. 2.3.1-3. Вычисление определенных интегралов
с использованием функции quad()

Допускается задание четвертого входного параметра eps – абсолютной погрешности: q=quad('f', a, b, eps ). По умолчанию eps =10^-6.

Рассмотрим примеры вычисления определенного интеграла с использованием функции Matlab quad() (рис. 2.3.1-3).