3.1 Мета роботи
Вивчити закономірності процесів установлення коливань осцилятора під дією зовнішньої гармонічної сили, коли квазіпружня (повертаюча) сила має лінійну та нелінійну залежності від зміщення.
3.2 Вказівки з організації самостійної роботи
Вимушені коливання, що відбуваються під дією нелінійної повертаючої сили описуються диференціальним рівнянням [1, 4]
, (3.1)
де 
– власна частота осцилятора;
δ – коефіцієнт згасання, 
;
r – коефіцієнт опору;
m – маса осцилятора;
– амплітуда сили, що змушує;
– частота сили, що змушує;
γ – стала величина, яка характеризує нелінійність повертаючої сили.
Коли сила, що змушує, діє за лінійним законом (
, 
) в системі встановлюються гармонічні коливання з частотою цієї сили
, (3.2)
де амплітуда А та початкова фаза 
визначаються за формулами:
та 
. (3.3)
При певній для даної системи частоті (резонансній частоті)
(3.4)
амплітуда коливань досягає максимального значення
. (3.5)
Коли повертаюча сила є нелінійною функцією зміщення, вона може бути наведена у вигляді ряду
. (3.6)
Коли γ > 0, квазіпружна сила більша ніж, у лінійному випадку. Якщо це сила пружності пружини, то таку пружину називають “жорсткою”. Коли γ < 0, сила менша, ніж у лінійному випадку, і пружину називають “м’якою”. На рис.3.1 наведені криві залежності квазіпружної сили від зміщення х відповідно: (1) – для лінійної залежності, (2) – для “жорсткої” пружини. (3) – для “м’якої” пружини.
В системі з нелінійною повертаючою силою такий резонанс, як у лінійному випадку, неможливий. Якщо γ > 0, власна частота збільшується зі зростанням амплітуди. Отже, на кривій залежності амплітуди від частоти максимум буде нахилений вправо (рис.3.2,а). Якщо γ < 0, максимум буде нахилений вліво (рис.3.2,б). Отже, одному значенню частоти відповідає декілька значень амплітуди і можливі ударні скачки амплітуди. Якщо графік залежності 
будується, починаючи зі значень 
– крива йде шляхом c–d–e–f, якщо починати зі значень 
– крива йде шляхом f–e–k–c.
а) б)
Рисунок 3.2
3.3 Опис комп’ютерної програми
Для вивчення вимушених лінійних і нелінійних коливань використо-
вується та сама програма, що й для вивчення вільних коливань (робота 2), але крім режиму 
в даній роботі використовується режим 
, який дозволяє отримувати залежність амплітуди коливань від частоти як у випадку лінійних (γ= 0), так і нелінійних коливань (γ> 0). Зовнішній вигляд інтерфейсу програми у цьому режимі зображено на рисунку 3.3. На екран
Рисунок 3.3
виведені кнопки: k – жорсткість пружини; r – величина опору; m – маса частини, що коливається; F0 – амплітуда сили; γ – коефіцієнт нелінійності; h – крок для побудови плавної кривої 
; w – крок, який впливає на плавність кривої ; 
, 
– кнопки, що регулюють початок та кінець побудови графіка х (t); 
, 
– кнопки, що визначають межі побудови графіка ; 
– початкове зміщення; 
– початкова швидкість.
3.4 Інструкція користувачу
1. Задати значення m і k згідно з табл. 3.1 та натиснути кнопку «Start». Визначити власну частоту осцилятора 
.
2. Вибрати режим роботи: 
. Встановити крок h =0,005. Задати значення величин згідно з табл. 3.1.
3. Отримати графіки 
коливань при γ = 0 за початкових умов 
– згідно з табл. 3.1, 
=0 у трьох випадках:1) 
, 2) 
, 3) 
. Зарисувати отримані графіки. Вказівки:
1) якщо криві виходять ламаними, зменшити крок 
(
=0,001);
2) якщо встановлення амплітуди коливань відбувається за екраном, збільшити час переглядання.
4. Повторити операції п.3 за початкових умов =0, згідно з табл. 3.1.
5. Встановити режим програми . Отримати графіки залежності при трьох значеннях коефіцієнта опору 
=0,01; 0,05; 0,1 (покласти 
=0). Перерисувати на один графік три резонансній криві. Зробити висновок про вплив величини згасання на ширину резонансної кривої та максимальне значення амплітуди коливань (параметри k і m встановити згідно з табл. 3.1).
Таблиця 3.1 – Вихідні дані
| Номер вар. | k, 
| m, кг | , м
| , 
| Номер вар. | k,
| m, кг | , м
| ,
|
| 0,1 | 0,02 | 0,2 | 0,1 | 0,04 | 0,2 | ||||
| 0,1 | 0,02 | 0,4 | 0,1 | 0,04 | 0,4 | ||||
| 0,1 | 0,02 | 0,6 | 0,1 | 0,04 | 0,6 | ||||
| 0,1 | 0,02 | 0,8 | 0,1 | 0,04 | 0,8 | ||||
| 0,1 | 0,02 | 1,0 | 0,1 | 0,04 | 1,0 | ||||
| 0,1 | 0,02 | 1,2 | 0,1 | 0,04 | 1,2 |
6. Надаючи позитивні значення γ (випадок “жорсткої пружини”), отримати резонансну залежність 
. Зарисувати (якісно) отриману криву.
7. Надаючи негативні значення γ (випадок “м’якої пружини”) спостерігати на екрані резонансну криву. Зарисувати отриману криву.
8. Зробити висновок відносно впливу нелінійності на форму резонансної залежності та величину резонансної частоти в порівнянні з лінійним випадком (γ = 0).
3.5 Зміст звіту
Звіт має містити: мету роботи, результати вимірювань, графіки та висновки за пунктами 3...7.
3.6 Контрольні запитання і завдання
1. Які коливання називаються вимушеними?
2. Запишіть рівняння, яке описує вимушені коливання. Який вигляд має його розв’язок?
3. В чому полягає явище резонансу? За яких умов воно може виникнути? Проаналізуйте вираз для амплітуди коливань і зсуву фаз між швидкістю та силою.
4. Коли виникають нелінійні коливання?
5. Чим відрізняються резонансні криві при нелінійних коливаннях?
