Циліндричного конденсаторІВ

8.1 Мета роботи

 

Дослідити розподіл потенціалу в електричних полях: одновимірної послідовності N -точкових зарядів; циліндричного конденсатора; плоского конденсатора та вплив на розподіл поля обмеженості розмірів його пластин.

 

8.2 Вказівки до організації самостійної роботи

 

Силовою характеристикою електричного поля в кожній точці є вектор напруженості , а енергетичною характеристикою – потенціал . Електричне поле будь-якої системи зарядів можна зобразити за допомогою ліній напруженості або еквіпотенціальних ліній. Лінії (або поверхні), вздовж яких потенціал не змінюється: , мають назву еквіпотенціальних ліній (або поверхонь). Лінії напруженості завжди ортогональні еквіпотенціальним лініям (поверхням), причому в кожній точці електричного поля [2, 5]

 

, (8.1)

 

де , , − одиничні вектори спрямовані вздовж осей x, y, z.

Знак “−” у формулі (8.1) означає, що градієнт потенціалу(векторна величина) спрямований протилежно вектору . Сам градієнт спрямований в бік найшвидшого зростання потенціалу.

Потенціал точкового заряду визначається за формулою

 

, (8.2)

 

де Ф/м − електрична стала; q − точковий заряд, r − відстань від заряду до точки спостереження.

Потенціал системи точкових зарядів в даній точці А обчислюється за формулою

 

, (8.3)

 

де – точковий заряд однієї послідовності зарядів;

– точковий заряд другої послідовності зарядів;

x, y – координати радіус-вектора, що характеризує положення точки, в якій визначається потенціал;

, , _j, – координати радіус-вектора, який характеризує відповідно до положення і -го та j -го заряду (рис.8.1).

Враховуючи широкі можливості комп’ютера, ми відразу розглядаємо поле дискретної послідовності зарядів. Можна було б розглядати заряд, розподілений безперервно вздовж ліній. Але такий підхід є складнішим, бо в цьому випадку потенціал необхідно визначати через інтеграли, а потім знову ж таки наближено їх обчислювати, розбиваючи лінії, вздовж яких розподілені заряди, на окремі відрізки, тобто заміняти інтеграл наближеною сумою вигляду (8.3).

 

 

a) б)

Рисунок 8.1

 

Потенціал дискретної послідовності числа n зарядів величиною q відрізнятиметься від рівномірного розподілу з еквівалентною лінійною густиною τ лише безпосередньо біля зарядів (в цьому можна впевнитися під час виконання даної роботи, будуючи еквіпотенціальні лінії поля). У випадку, коли заряди знаходяться на прямій (рис.8.1а), лінійна густина заряду

 

,

 

де і – відповідні x -координати першого та n -го зарядів. Коли заряди розташовані по колу (рис.8.1б), маємо

 

,

 

де R – радіус кола.

Для нескінченно довгих пластин і циліндрів картина еквіпотенціальних ліній в площині, перпендикулярній до них(в площині рисунка) буде такою самою, як і для лінійного розподілу зарядів з лінійною густиною .

8.3 Опис комп’ютерної програми

 

Зовнішній вигляд інтерфейсу програми зображено на рис. 8.2. Програма дозволяє створювати такі розподіли зарядів: один точковий заряд, диполь, заряджена смуга, дві паралельні смуги, два коаксіальні циліндри і таким чином моделювати плоский та циліндричний конденсатори. Програма дає можливість знайти точки однакового потенціалу для вказаних розподілів зарядів.

"Вимірювання" потенціалу в будь-якій точці з координатами (х, у) здійснюється за допомогою "зонда", роль якого відіграє курсор "мишки". Натискаючи ліву клавішу "мишки" в деякій точці отримуємо на екрані висвітлені координати точки та значення потенціалу. За отриманими даними користувач має можливість побудувати еквіпотенціальні лінії поля даної системи зарядів, а також обчислити напруженість поля.

 

 

Рисунок 8.2

 

Кількість зарядів, відстань між ними можна змінювати в широких межах, досягаючи такої густини зарядів, коли немає великої різниці між дискретним і безперервним розподілом. Користувач може прослідкувати, як впливає дискретність розподілу зарядів на форму еквіпотенціальних ліній.

 

8.4 Інструкція користувачу

 

1. Створіть один точковий заряд (значення візьміть з табл. 8.1). Відшукайте точки однакового потенціалу для точок, розташованих на відстані від заряду ; ; ; . З’єднайте точки з однаковим потенціалом (), отримайте еквіпотенціальні лінії.

2. Обчисліть тричі наближено значення напруженості за формулою

 

. (8.4)

Значення і візьміть для двох сусідніх еквіпотенціальних ліній. Обчисліть напруженість електричного поля як градієнт потенціалу, зробивши вимірювання , в двох будь-яких близьких точках, які знаходяться на сусідніх еквіпотенціальних лініях (рис.8.3), за формулою, аналогічною (8.1)

. (8.5)

 

3. Порівняйте результати, отримані за формулами (8.4) і (8.5).

4. Створіть системи точкових зарядів, розташованих паралельно одна одній, зна­чення q, n, і візьміть з табл. 8.1, заряд однієї системи зарядів + q, другої – q (порядок величини q ~10^-12...10^-14 Кл).

5. Знайдіть точки однакового потен­ціалу, починаючи з точки, що знаходиться на перетині осей симетрії системи (рис.8.1, а). Зробіть аналогічні заміри, щоб побудувати не менше трьох екві­потенціальних ліній, розміщених між лінією розташування зарядів та лінією симетрії, яка проходить посередині між системами. Зробіть заміри для точок не тільки всередині системи зарядів, а й для зовнішніх точок, де вже буде добре видно, що еквіпотенціальні лінії стають непаралельними одна одній.

6. Обчисліть напруженість поля поблизу точки С (рис.8.1, а) – в центрі системи. Якщо еквіпотенціальні лінії паралельні, то поле однорідне і величину напруженості поля в конденсаторі можна обчислити за формулою.

 

. (8.6)

 

Порівняйте отриманий результат з результатом, обчисленим за форму­лою, справедливою для випадку двох нескінченних паралельних площин

 

. (8.7)

 

7. Виконайте завдання пунктів 4…6 для “пластин”, ширина яких перевищує вибрану в пункті 3 в декілька m разів (дані в табл. 8.1). Як розміри пластин впливають на характер поля?

8. Створіть дві системи зарядів, розташованих на концентричних колах з радіусами і (дані пункту 8). Центр кіл оберіть так, щоб вони не вийшли за межі осей x, y. Заряд і підберіть так, щоб заряд однієї “пластини” конденсатора дорівнював – заряду другої “пластини”. Побудуйте не менше трьох еквіпотенціальних ліній.

Порівнюючи форму еквіпотенціальних ліній для плоских і циліндричних пластин зробіть належний висновок щодо відповідності між формою ліній та пластин.

 

Таблиця 8.1 – Вихідні дані

 

Номер	·10-5, Кл	·10-5, Кл	, мм	n	m	, мм	, мм

 

8.5 Зміст звіту

 

Звіт має містити: мету роботи, рисунки побудованих еквіпотенціальних ліній, результати розрахунків (пункти 2, 6) та висновки до пунктів 7, 8.

 

8.6 Контрольні запитання і завдання

 

1. Запишіть формулу потенціалу точкового заряду.

2. За якою формулою визначається потенціал системи точкових зарядів?

3. Запишіть формулу зв’язку напруженості поля з потенціалом.

4. Опишіть властивості градієнта.

5. Що таке еквіпотенціальні лінії (поверхні)? Під яким кутом перетинаються лінії напруженості з еквіпотенціальними лініями?

6. Вивести формули для потенціалу поля в циліндричному та плоскому конденсаторі.

7. Що таке лінійна густина заряду?