Основная теорема о вычетах. Теорема о сумме всех вычетов

Если аналитична в некоторой замкнутой односвязной области , за вычетом конечного числа особых точек , из которых ни одна не принадлежит граничному контуру , то справедлива следующая формула:

, где — вычет в точке .

Из теоремы о В. вытекает теорема о полной сумме вычетов: если f(z) - однозначная аналитич. функция в расширенной комплексной плоскости, кроме конечного числа особых точек, то сумма всех В. функции f(z), включая В. в бесконечно удаленной точке, равна нулю.

38. Вычисления определенных интегралов по отрезку [0,2п] от рациональной функции относительно sint и cost и несобственных интегралов с бесконечными пределами рациональных функций.

Рассмотрим интеграл вида

,

где R (x) – рациональная функция, , причем многочлен Q (x) не обращается в нуль на вещественной оси и его степень по крайней мере на две единицы больше степени числителя. В этом случае интеграл сходится и его значение определяется по формуле

,

Вычисления определённых интегралов от тригонометрических функций

Пусть функция — рациональная функция переменных и . Для вычисления интегралов вида удобно использовать формулы Эйлера. Положив, что , и произведя соответствующие преобразования, получим:

.

Леммы Жордана. Несобственные интегралы по действительной оси от функций

( Лемма Жордана ). Если f(z) ÎC^¥(Imz>0. z₁,z₂,...,z_N¹¥) и f(z)=>0 при |z|®¥(равномерно по arg z, Im z >0), то при ReZ>0

C_R - полуокружность | z |= R Im z >0.

Пусть R (x) - рациональная функция, не имеющая особых точек на действительной оси, для которой точка z, равная бесконечности, - нуль порядка не ниже первого.

Тогда справедливы формулы:

Преобразование Лапласа. Условия на функцию - оригинал.

Пусть имеем функцию действительного переменного f(t), которая удовлетворяет следующим условиям:

1) f(t) однозначна и непрерывна вместе со своими производными n-го порядка для всех t, кроме тех, где она и ее производные имеют разрывы 1-го рода. При этом в каждом конечном интервале изменения t имеется конечное число точек разрыва;

2) f(t)=0 для всех t<0;

3) f(t) возрастает медленнее некоторой экспоненциальной функции , где М и а - некоторые положительные величины, т.е. всегда можно указать такие М и а, чтобы при любом t>0 соблюдалось неравенство .

В операционном исчислении функции f(t) ставится в соответствие новая функция F(p), определяемая равенством

Где p - положительное действительное число или комплексное число с положительной действительной частью.

Функция f(t) при этом называется оригиналом, а F(p)- изображением функции f(t) по Лапласу.