Разложение аналитической функции в ряд Тейлора в круге. Разложение функции в ряд Лорана в кольце

Ряд Тейлора. Пусть функция w = f (z) аналитична в области D, . Обозначим L окружность с центром в z ₀, принадлежащую области D вместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L, . Представим множитель в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии: (так как

| z – z ₀| < | t – z ₀|, то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , так как . Итак,

Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции f (z). Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана

Ряд Лорана. Пусть функция f (z) аналитична в кольце . Тогда для любой точки этого кольца ; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева

Нули аналитических функций. Правила определения порядка нулей.

Определение. Точка а называется нулём порядка k аналитической функции f (z), если f (a) = f ′(a) = f ″(a) =... = f ^{(k −1)}(a) = 0, но f ^(k)(a) ≠ 0.
Пример. Пусть . Точка a = 0 - нуль этой функции, так как f (0) = 0. Найдём порядок нуля:

f ″(z) = − sin z + z, f ″(0)= 0,

f ⁽³⁾(z) = − cos z + 1, f ⁽³⁾(0) = 0,

f ⁽⁴⁾(z) = sin z, f ⁽⁴⁾(0) = 0,

f ⁽⁵⁾(z) = cos z, f ⁽⁵⁾(0) = 1 ≠ 0,. Первая отличная от нуля производная функции в точке a = 0 - пятая, поэтому эта точка - нуль пятого порядка функции .

Классификация особых точек ФКП. Изолированные особые точки.

Точка а С_z называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) аналитическая и однозначная (регулярная) в кольце { z:0<| z – a |< }, а в самой точке а не определена.

Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) регулярна в некоторой окрестности { R <| z |< } точки z= и функция