Дифференциальное исчисление функции одной переменной

б) у =

101-110. Найти производные функции:

	а) у = (3х2 − 5/х2+ 1)5,

101.

 

 

в) у = 2^{arctg х} ∙arcsin 2х, г) у = lncos 6х д)

		б)
	а) у = (4х6-5 – 7)3

102.

 

в) у = е^{sin х} ∙ arctg 4х г) у = sinln 7х д)

	а) у = (х6 + 3/x4- 8)8
		б) у =

103.

 

 

2х2 – ctg х б) у =

а) у = (3х2–2 + 5)6,

в) у = 4^{arctg x} ∙ cos 6х г) у = ln arcsin 2х д)

 

104.

 

 

в) у = е^{arcsin х} ∙ cos 4х, г) у = arctg ln 5х д)

	а) у = (2х4 + – 7)4,
		б) у=

 

105.

 

 

у = 5^6х ∙ arcsin 5х, г) у = lnsin 7х д)

	а) у = (5х2 – 3 – 2)4,		2х + etg x б) у =

 

106 .

 

 

б) у=

а) у = (х3 – 3/ х8 + 4)2,

в) у = е^{sin х} ∙ arccos 3х, г) у = arctg ln 7х д)

 

107.

 

в) у = 4^{tg х} ∙ arctg 3х, г) у = lncos 4х д)

	а) у = (3х6 + 2 – 8)5,		ctgх - cosх б) у =

108.

 

 

в) у = е^х² · arcsin 2х, г) у = arctg ln 5х д)

		б) у = cos 2х
	а) у = (2х4 – 3 – 1)4,

 

109.

 

 

в) у = 5^аrctgх · sin 4х, г) у = ln arcsin 3х д)

	а) у = (3х5 –1/х4+ 7)3,		б) у =

 

110.

 

 

в) у = е^{arcsin х} · ctg 3х г) у = arctg ln 8х д)

 

111-120. Найти производные второго порядка от функций:

 

111. у = cos3х · е^sinх у = lnarctg 2x

112. у = 2^3х · tg2х у = cosln 5х

113. у = е^tgх · ln2х у = cos

114. у = 2^8х · tg3х у = arcsin ln4х

115. у = е^tgх · sin4х у = sin ln5х

116. у = 3^ctgх · arcsin (х²) у = lnsin 6х

117. у = е^сtgх · cos6х у = sin ln2х

118. у = 4^cosх · arctg2х у = lncos 5х

119. у = е^х² · tg7х у = arcsin ln2х

120. у = 2^sinх · arcsin2х у = lncos 7х

 

121-130. Найти производные указанного порядка от функций:

 

121. у⁽¹⁵⁾ для у = cos5х 122. у⁽⁵⁾ для у = (e^x + e^–x)/2

123. у⁽⁹⁾ для у = sin7х 124. у⁽⁷⁾ для у = sin(1–2х)+ 3^2х

125. у⁽⁸³⁾ для у = e^2x 126. у⁽⁵⁾ для у = cos7x + lnx

127. у⁽⁷¹⁾ для у = 5^–3x 128. у⁽¹⁴⁾ для у = log₅ x

121. у⁽⁵⁾ для у = (e^x – e^–x)/2 122. у⁽¹¹⁾ для у = х^1/2

lncosх lim х→о х

lim х→а

131-140. Найти пределы, раскрывая неопределенности по правилу Лопиталя.

 

 

131. а) б)

 

х3 + х lin х→∞ х4 – 3х2 + 1

в)

 

 

	eх – 1 lim х→о sin х		eαх – cos αх lim х→о eβх – cos βх

132. а) б)

	(х2 + 1)50 lim х→∞ (х + 1)100

 

 

в)

	х – arctg х lim х→о х3		eа – 1 lim х→о √ sin вх

 

133. а) б)

	х4 – 5х lim х→∞ х2 – 3х + 1

 

 

в)

	х – sin х lim х→о х – tg х		π– 2 arctg х lim х→∞ ln (1 + 1/х)

 

 

134. а) б)

	х2 – 1 lim х→∞ 2х6 + 1

 

 

в)

 

 

ах – вх lim х→о сх – dх

хm – аm lim х→а хn – аn

135. а) б)

	1 + х – 3х2 lim х→∞ 1 + х2 + 3 х3

 

 

в)

 

 

	eх² – 1 lin х→о cosх –1		eх – e-х lim х→о sinх · cosх

136. а) б)

 

в)

 

 

cos х · ln (х – а) lim х→а ln (eх – eа)

ах – вх lim х→о х ·

137. а) б)

 

 

в)

 

 

	eх – e–х – 2х lim х→о х – sinх		etgх – eх lim х→о tgх – х

138. а) б)

	х3 – 100х2 + 1 lim х→∞ 100х2 + 15х

 

в)

 

	ln sin 2х lim х→о ln sin х		eх – 1 – х lim х→о sin2 2х

139. а) б)

	1000 х3 + 3 х2 lim х→∞ 0,001 х4 – 100 х3+1

 

 

в)

 

 

ln (х – 1) lim х→1 ctg πх

ln х lim х→о ln sin х

140. а) б)

 

х lim х→∞ ln(1 + x)

в)

Применения дифференциального исчисления

141-150. Исследовать функции и построить их графики.

Исследования функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать на четность, нечетность, периодичность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва.

5. Найти точки экстремума функции и интервалы ее монотонности.

6. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.

7. Найти асимптоты графика функции.

8. Построить эскиз графика, используя результаты предыдущих исследований.

141. а) у = 2х³ + 3х² – 36х – 21

в) у = 2sin² 2х +1, 0 £ x £ p/2

 

142. а) у = 2х³ + 15х² + 36 + 32

в) у = –cos² 2х +2, p/4 £ x £ p/4

 

143. а) у = 2х³ – 15х² + 24х + 4

в) у = – ln² |х|

 

144. а) у = 2х³ – 9х² – 24х + 61

в) у = e ^sinx – 2, 0 £ x £ p

 

145.

в) у = 2^cosx, – p £ x £ p

 

146.

в) у = – arcsin|x| + p/2, –1£ x £ 1

 

 

147.

в) у = – arccos|x| – p

 

148.

в) у = – 2arctgx²

 

149.

в) у = – 2xsinх, p/2 £ x £ p/2

 

150.

в) у = 3^–sinx, – p/2 £ x £ p

 

 

151-160. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = f(х) на отрезке [α; β] и написать уравнения касательной и нормали к кривой у = f(х) в точке х₀:

151. , х₀=1

152. , х₀=–1

153. , х₀=2

154. , х₀=–2

155. , х₀=1

156. , х₀=–1

157. , х₀=3

158. , х₀=–3

159. , х₀=1

160. , х₀=2

Неопределенный интеграл

161-170. Вычислить неопределенные интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.

161.

162.

163.

164.

165.

166.

167.

168.

169.

170.

 

 

Определенный интеграл

171-180. Вычислить определенные интегралы:

171. 172.

 

173. 174.

 

175. 176.

 

177. 178.

 

179. 180.

 

181-190. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми:

 

181. a) б) в)

 

182. a) б) в)

 

183. а) б) в)

 

184. а) б) в)

 

185. а) б) в)

186. а) б) в)

 

187. а) б) в)

 

188. а) б) в)

 

189. а) б) в)

 

190. а) б) в)

 

191-200. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг а) оси ОХ, б) оси OY фигуры, ограниченной линиями.

 

191. 192. 193. 194.

 

195. 196. 197. 198.

 

199. 200.

 

201-210. Вычислить приближенно данные интегралы, пользуясь формулой Симпсона и формулой трапеций. Если интеграл вычисляется точно, сравнить его приближенное значение с точным. (Число n частичных интервалов задается в скобках).

 

201. а) 202. а)

 

б) (n=6) б) (n=6)

 

203. а) 204. а)

б) (n=8) б) (n=8)

205. а) 206. а)

б) (n=8) б) (n=6)

207. а) 208. а)

б) (n=10) б) (n=6)

209. а) 210. а)

б) (n=6) б) (n=6)