Строки первой матрицы- сомножителя на соответствующие элементы j-го

столбца второй матрицы-сомножителя.

Из сказанного следует, что если можно найти произведение матриц AB, то произведение BA, вообще говоря, не определено.

Приведем примеры перемножения матриц:

1) =

= =

= ;

2) = (8, 4).

Если AB и BA одновременно определены, то, вообще говоря, эти произведения не равны. Это означает, что умножение матриц не коммутативно. Продемонстрируем это на примере.

.

Для алгебраических действий над матрицами справедливы следующие законы:

1) A + B = B + A;

2) a (A + B) = a A + a B;

3) (A + B) + C = A + (B + C);

4)(AB) C = A (BC);

5) A (B + C) = AB + AC.

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором (вектором-строкой). Матрица, состоящая из одного столбца, также называется вектором (вектором-столбцом).

Пусть имеется матрица A = (a_ij) размерности m ´ n, n -мерный вектор-столбец X и m- мерный вектор-столбец B:

; .

Тогда матричное равенство

AX = B, (1)

если расписать его поэлементно, примет вид:

.

Таким образом, формула (1) является записью системы m линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме. Ниже будет показано, что, записывая систему в сжатом виде, кроме краткости написания мы получаем и другие очень важные преимущества.

Пусть имеются две квадратные матрицы одинаковой размерности:

.

Требуется найти матрицу X, удовлетворяющую матричному уравнению

AX = D.

Из правила умножения матриц следует, что матрица X должна быть квадратной матрицей той же размерности, что и матрицы A и D:

.

Из правила умножения матриц и из определения равенства матриц следует, что последнее матричное уравнение распадается на три системы линейных уравнений:

;

; (2)

.

Все три системы (2) имеют одинаковые матрицы коэффициентов, что дает возможность решать их одновременно, введя матрицу

.

Здесь первые четыре столбца образуют расширенную матрицу первой системы, первые три столбца вместе с пятым столбцом образуют расширенную матрицу второй системы, а первые три столбца вместе с шестым – расширенную матрицу третьей системы.

Применим для решения метод Жордана-Гаусса который является модификацией метода Гаусса.

Первый шаг преобразования матрицы по методу Жордана-Гаусса совпадает с первым шагом преобразований по методу Гаусса. Оставляем без изменений первую строку матрицы, а во второй и третьей “организуем” нули в первом столбце:

.

Теперь, следуя методу Жордана-Гаусса, оставляем без изменения лишь вторую строку (так как a 22 ¹ 0) и получаем с помощью второй строки в первой и третьей строках во втором столбце нули. Для этого вместо первой строки пишем сумму первой строки, умноженной на 5, и второй строки, умноженной на –2. Вместо третьей строки пишем сумму третьей строки, умноженной на 5, и второй строки, умноженной на –1 После деления полученной третьей строки на 2 получаем матрицу

.

Чтобы в первой и второй строках в третьем столбце получить нули, про­ведем следующие преобразования последней матрицы. Оставив третью строку без изменений, заменим вторую строку разностью второй строки и утроенной третьей, а первую – суммой первой и третьей строк. После деления первой и второй строк преобразованной матрицы на 5 получится матрица

. (3)

При преобразовании системы по методу Жордана-Гаусса матрица коэффициентов приводится (если это возможно) к такому виду, что на главной диагонали стоят единицы, а над главной диагональю и под главной диагональю – нули.

Если взять первые четыре столбца матрицы (3), то получится матрица, в которую преобразовалась расширенная матрица первой из систем уравнений (2). Из нее следует: x ₁₁=2; x ₂₁=–5; x ₃₁=10. Матрица, образованная первыми тремя столбцами вместе с пятым столбцом матрицы (3), дает решение второй системы уравнений (2): x ₁₂=2; x ₂₂=1; x ₃₂=–3. И, наконец, матрица, образованная первыми тремя столбцами вместе шестым столбцом матрицы (3), дает решение третьей системы уравнений (2): x ₁₃=3; x ₂₃=–4; x ₃₃=12.

Из сказанного можно сделать очень интересный и важный вывод: последние три столбца матрицы (3) образуют искомую матрицу X.

.

Введем ряд новых определений.

Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы – нули. Очевидно равенство A + (–1) A = 0. Здесь в правой части через 0 обозначена нулевая матрица той же размерности, что и матрица A.

Квадратная матрица размера n называется единичной, если все её элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные – нули. Единичную матрицу можно определить формулами:

a_ij = 1 при i = j;

a_ij = 0 при i ¹ j.

Очевидно, что первые три столбца матрицы (3) образуют единичную матрицу.

Единичная матрица, как правило, обозначается буквой E:

.

Легко проверить справедливость равенств: EA = AE = A. Здесь A – квадратная матрица, и размеры A и E одинаковы.

Пусть A – квадратная матрица. Обратной матрицей к матрице A называется такая матрица A ^–1, для которой справедливы равенства:

AA ^–1 = A ^–1 A = E.

Очевидно, что A ^–1 – квадратная матрица того же размера, что и матрица A. Сразу заметим, что не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу.

Поставим задачу: найти обратную матрицу к матрице

.

Условие

,

где

,

сводится к трём системам уравнений, которые будем решать одновременно, используя метод Жордана-Гаусса. Матрица, представляющая расширенные матрицы всех трёх систем, примет вид

.

Подвергая её преобразованиям по методу Жордана-Гаусса, последовательно будем получать:

Þ Þ

Þ Þ (4)

Как и в предыдущем примере, можно сказать, что три последних столбца образуют искомую матрицу, то есть

.

Теперь сформулируем правило, по которому находится матрица, обратная к квадратной матрице А размера n.

Нужно выписать матрицу размерности n ´ 2 n, первые n столбцов которой образованы матрицей А, а последние n столбцов образуют единичную матрицу Е. Построенная таким образом матрица преобразуется по методу Жордана-Гаусса так, чтобы на месте матрицы А получилась единичная матрица, если это возможно. Тогда на месте матрицы Е получается матрица А ^–1.

Если матрицу Анельзя методом Жордана-Гаусса преобразовать к единичной матрице, то А^–1 не существует. Так матрица

не имеет обратной. Читатель может в этом убедиться самостоятельно.

Определители

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными в общем виде:

.

Найдем x ₁ следующим образом: чтобы исключить x ₂, умножим первое уравнение на a ₂₂ и из полученного уравнения вычтем второе, умноженное на a ₁₂:

. (1)

Обозначим D = a ₁₁ a ₂₂ – a ₁₂ a ₂₁, D₁ = b ₁ a ₂₂ – b ₂ a ₁₂.

Для определения x ₂ поступим так: умножим второе уравнение на a ₁₁ и из полученного уравнения вычтем первое, умноженное на a ₂₁:

(a ₁₁ a₂₂ – a ₁₂ a ₂₁) x _{2 =} a ₁₁ b ₂ – a ₂₁ b ₁. (2)

Обозначим D₂ = a ₁₁ b ₂ – a ₂₁ b ₁.

Из (1) и (2) видно, что если D ¹ 0, то система имеет единственное решение[1], определяемое формулой

. (3)

Величина D называется определителем матрицы второго порядка

.

Вообще определителем произвольной матрицы второго порядка называется число, которое обозначается и равно произ­

ведению двух чисел, стоящих на главной диагонали минус произведение двух чисел, стоящих на другой диагонали: a ₁₁ a ₂₂ – a ₁₂ a ₂₁.

Например,

.

Из сказанного следует, что величины D₁ и D₂ в (3) тоже являются определителями:

.

Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

. (4)

Введем определение. Определителем произвольной квадратной матрицы третьего порядка называется сумма шести слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трех элементов матрицы, выбираемых по следующему правилу: три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников: , берутся со знаком "+", а три произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах двух других треугольников: , берутся со знаком "-". Определитель третьего порядка обозначается так:

.

Например,

 

Решая систему (4), например методом Гаусса, можно получить равенства

D× x ₁ = D₁; D× x ₂ = D₂; D× x ₃ = D₃, (5)

где

.

Из формул (5) видно, что если D ¹ 0, то единственным образом определяется решение системы:

.

Решая квадратные системы линейных уравнений 4-го, 5-го или любого более высокого порядка, можно получить формулы, аналогичные формулам (1), (2) или (5).

Дадим определение определителя

квадратной матрицы n -го порядка или просто определителя n -го порядка. (В дальнейшем, принимая во внимание введённое обозначение, под элементами, строками и столбцами определителя матрицы будем подразумевать элементы, строки и столбцы этой матрицы.)

Сформулируем понятие n! (читается эн факториал): если n – натуральное (целое положительное) число, то n! – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

n! = 1×2×3×¼×(n – 1) n.

Например,

5! = 1×2×3×4×5 = 120.

Замечание: в некоторых книгах вместо термина "определитель" используется термин "детерминант" и определитель матрицы A обозначается det A.

Определителемn-го порядка называется сумма n! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведениеnэлементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца определителя[2]. (Произведения отличаются одно от другого набором элементов.)Перед каждым произведением ставится

знак " + " или "-". Покажем, как определить, какой нужно ставить знак перед

произведением.

Так как в каждом произведении присутствует один элемент из 1-й строки, один элемент из 2-ой и т.д., то произведение в общем виде можно записать так:

a _{1 i} × a _{2 j} × a _{3 k} ×¼× a_ns.

Здесь i, j, k, ¼, s – номера столбцов, в которых стоят элементы, выбранные из 1-й, 2-й, 3-й,... n -й строк, соответственно. Ясно из сказанного выше, что каждое из чисел i, j, k, ¼, s равно какому-либо из чисел 1, 2,..., n, и что все числа i, j, k, ¼, s – различные.

Расположенные в данном порядке

i, j, k, ¼, s,

эти числа образуют "перестановку" из чисел 1, 2,..., n (перестановкой называется заданный порядок в конечном множестве).

Взаимное расположение двух чисел в перестановке, когда большее стоит впереди меньшего называется инверсией. Например, в перестановке три инверсии; в перестановке – шесть инверсий.

Перестановка называется четной, если в ней четное число инверсий и нечетной, если число инверсий нечетное.

Теперь можно сформулировать правило: произведение a _{1 i} × a _{2 j} × a _{3 k} ×¼× a_ns берется со знаком "+", если вторые индексы образуют четную перестановку, и со знаком "-", если нечетную.

Из определения определителя можно вывести следующие его свойства.