Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Глава 1. Начала линейной алгебры

Системы линейных уравнений

Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде:

. (1)

Здесь x ₁, x ₂, ¼, x_n – неизвестные величины, a_ij (i = 1,2, ¼, m;
j = 1, 2, ¼, n) – числа, называемые коэффициентами системы (первый индекс фиксирует номер уравнения, второй — номер неизвестной), b ₁, b ₂, ¼, b_m –числа, называемые свободными членами.

Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел x ₁, x ₂, ¼, x_n, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.

Система, имеющая решение, называется совместной.

Если система имеет только одно решение, то она называется определенной. Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной (совместной и неопределенной).

Если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Система, у которой все свободные члены равны нулю
(b ₁ = b ₂ =¼ = b_n = 0), называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как набор из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы.

Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n), то система называется квадратной.

Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными или равносильными (совпадение множеств решений означает, что каждое решение первой системы является решением второй системы, и каждое решение второй системы является решением первой).

Две несовместные системы считаются эквивалентными.

Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Рассмотрим квадратную систему

. (1)

У этой системы коэффициент a ₁₁ отличен от нуля. Если бы это условие не выполнялось, то чтобы его получить, нужно было бы переставить местами уравнения, поставив первым то уравнение, у которого коэффициент при x ₁ не равен нулю.

Проведем следующие преобразования системы:

1) поскольку a ₁₁¹0, первое уравнение оставим без изменений;

2) вместо второго уравнения запишем уравнение, получающееся, если из второго уравнения вычесть первое, умноженное на 4;

3) вместо третьего уравнения запишем разность третьего и первого, умноженного на 3;

4) вместо четвертого уравнения запишем разность четвертого и первого, умноженного на 5.

Полученная новая система эквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме первого, нулевые коэффициенты при x ₁ (это и являлось целью преобразований 1 – 4):

. (2)

Можно доказать, что замена любого уравнения системы новым, получающимся прибавлением к данному уравнению любого другого уравнения системы, умноженного на любое число, является эквивалентным преобразованием системы.

Для приведенного преобразования и для всех дальнейших преобразований не следует целиком переписывать всю систему, как это только что сделано. Исходную систему можно представить в виде таблицы

. (3)

Прямоугольную таблицу, состоящую из p строк и q столбцов, будем называть матрицей размера p ´ q:

.

Числа a_ij называются элементами матрицы. Первый индекс фиксирует номер строки, а второй – номер столбца, в которых стоит данный элемент. Если p = q, то есть число столбцов матрицы равно числу строк, то матрица называется квадратной. Элементы a_ii образуют главную диагональ матрицы.

Матрица (3) называется расширенной матрицей для исходной системы уравнений. Если из расширенной матрицы удалить столбец свободных членов, то получится матрица коэффициентов системы, которую иногда называют просто матрицей системы.

Очевидно, что матрица коэффициентов квадратной системы является квадратной матрицей.

Каждую систему m линейных уравнений с n неизвестными можно представить в виде расширенной матрицы, содержащей m строк и n +1 столбцов. Каждую матрицу можно считать расширенной матрицей или матрицей коэффициентов некоторой системы линейных уравнений. Системе (2) соответствует расширенная матрица

.

Преобразуем эту матрицу следующим образом:

1) первые две строки оставим без изменения, поскольку элемент a ₂₂ не равен нулю;

2) вместо третьей строки запишем разность между второй строкой и удвоенной третьей;

3) четвертую строку заменим разностью между удвоенной второй строкой и умноженной на 5 четвертой.

В результате получится матрица, соответствующая системе, у которой неизвестная x ₁ исключена из всех уравнений, кроме первого, а неизвестная x ₂ — из всех уравнений кроме первого и второго:

.

Теперь исключим неизвестную x ₃ из четвертого уравнения. Для этого последнюю матрицу преобразуем так:

1) первые три строки оставим без изменения, так как a ₃₃ ¹ 0;

2) четвертую строку заменим разностью между третьей, умноженной на 39, и четвертой:

.

Полученная матрица соответствует системе

. (4)

Из последнего уравнения этой системы получаем x ₄ = 2. Подставив это значение в третье уравнение, получим x ₃ = 3. Теперь из второго уравнения следует, что x ₂ = 1, а из первого — x ₁ = –1. Очевидно, что полученное решение единственно (так как единственным образом определяется значение x ₄, затем x ₃ и т. д.).

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие преобразования:

1) перемена местами двух строк;

2) умножение строки на число, отличное от нуля;

3) замена строки матрицы суммой этой строки с любой другой строкой, умноженной на некоторое число.

Если матрица A является расширенной матрицей некоторой системы, и путем ряда элементарных преобразований матрица A переводится в матрицу B, являющуюся расширенной матрицей некоторой другой системы, то эти системы эквивалентны.

Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю – нули, треугольной матрицей. Матрица коэффициентов системы (4) – треугольная матрица.

Если с помощью элементарных преобразований матрицу коэффициентов квадратной системы можно привести к треугольной матрице, то система совместна и определенна.

Рассмотрим другой пример:

. (5)

Проведем следующие преобразования расширенной матрицы системы:

1) первую строку оставим без изменения;

2) вместо второй строки запишем разность между второй строкой и удвоенной первой;

3) вместо третьей строки запишем разность между третьей строкой и утроенной первой;

4) четвертую строку заменим разностью между четвертой и первой;

5) пятую строку заменим разностью пятой строки и удвоенной первой.

В результате преобразований получим матрицу

.

Оставив без изменения первые две строки этой матрицы, приведем ее элементарными преобразованиями к следующему виду:

.

Если теперь, следуя методу Гаусса, который также называют и методом последовательного исключения неизвестных, с помощью третьей строки привести к нулю коэффициенты при x ₃ в четвертой и пятой строках, то после деления всех элементов второй строки на 5 и деления всех элементов третьей строки на 2 получим матрицу

.

Каждая из двух последних строк этой матрицы соответствует уравнению 0 x ₁+0 x ₂+0 x ₃+0 x ₄+0 x ₅ = 0. Это уравнение удовлетворяется любым набором чисел x ₁, x ₂, ¼, x ₅, и его следует удалить из системы. Таким образом, система с только что полученной расширенной матрицей эквивалентна системе с расширенной матрицей вида

. (6)

Последняя строка этой матрицы соответствует уравнению
x ₃ – 2 x ₄ + 3 x ₅ = –4. Если неизвестным x ₄ и x ₅ придать произвольные значения: x ₄ = r; x ₅ = s, то из последнего уравнения системы, соответствующей матрице (6), получим x ₃ = –4 + 2 r – 3 s. Подставив выражения x ₃, x ₄, и x ₅ во второе уравнение той же системы, получим x ₂ = –3 + 2 r – 2 s. Теперь из первого уравнения можно получить x ₁ = 4 – r + s. Окончательно решение системы представляется в виде

.

Рассмотрим прямоугольную матрицу A, у которой число столбцов m больше, чем число строк n. Если матрицу A можно разделить вертикальной чертой на две матрицы: стоящую слева треугольную матрицу размера m и стоящую справа прямоугольную матрицу, то матрицу A назовем трапециевидной или трапецеидальной. Очевидно, что матрица (6) — трапециевидная матрица.

Если при применении эквивалентных преобразований к системе уравнений хотя бы одно уравнение приводится к виду

0 x ₁ + 0 x ₂ + ¼0 x_n = b_j (b_j ¹ 0),

то система несовместна или противоречива, так как ни один набор чисел x ₁, x ₂, ¼, x_n не удовлетворяет этому уравнению.

Если при преобразовании расширенной матрицы системы матрица коэффициентов приводится к трапецеидальному виду и при этом система не получается противоречивой, то система совместна и является неопределенной, то есть имеет бесконечно много решений.

В последней системе можно получить все решения, придавая конкретные числовые значения параметрам r и s.

Те переменные, коэффициенты при которых стоят на главной диагонали трапецеидальной матрицы (это значит, что эти коэффициенты отличны от нуля), называются базисными. В рассмотренном выше примере это неизвестные x ₁, x ₂, x ₃. Остальные неизвестные называются свободными. В рассмотренном выше примере это неизвестные x ₄, и x ₅. Свободным неизвестным можно придавать любые значения или выражать их через параметры, как это сделано в последнем примере.

Базисные неизвестные единственным образом выражаются через свободные неизвестные.

Если свободным неизвестным приданы конкретные числовые значения и через них выражены базисные неизвестные, то полученное решение называется частным решением.

Если свободные неизвестные выражены через параметры, то получается решение, которое называется общим решением.

Все бесконечное множество решений системы можно получить, придавая свободным неизвестным любые числовые значения и находя соответствующие значения базисных неизвестных.

Если всем свободным неизвестным приданы нулевые значения, то полученное решение называется базисным.

Одну и ту же систему иногда можно привести к разным наборам базисных неизвестных. Так, например, можно поменять местами 3-й и 4-й столбцы в матрице (6). Тогда базисными будут неизвестные x ₁, x ₂, x ₄, а свободными – x ₃ и x ₅. Рекомендуем читателю самостоятельно привести последнюю систему к такому виду, чтобы свободными неизвестными были x ₁ и x ₂, а базисными – x ₃, x ₄, x ₅.

Если получены два различных набора базисных неизвестных при различных способах нахождения решения одной и той же системы, то эти наборы обязательно содержат одно и то же число неизвестных, называемое рангом системы.

Рассмотрим еще одну систему, имеющую бесконечно много решений:

.

Проведем преобразование расширенной матрицы системы по методу Гаусса:

.

Как видно, мы не получили трапецеидальной матрицы, однако последнюю матрицу можно преобразовать, поменяв местами третий и четвертый столбцы:

.

Эта матрица уже является трапецеидальной. У соответствующей ей системы две свободных неизвестных – x ₃, x ₅ и три базисных – x ₁, x ₂, x ₄. Решение исходной системы представляется в следующем виде:

.

Приведем пример не имеющей решения системы:

.

Преобразуем матрицу системы по методу Гаусса:

.

Последняя строка последней матрицы соответствует не имеющему решения уравнению 0 x ₁ + 0 x ₂ + 0 x ₃ = 1. Следовательно, исходная система несовместна.

Сформулируем теперь кратко суть метода Гаусса. Полагая, что в системе коэффициент a ₁₁ отличен от нуля (если это не так, то следует на первое место поставить уравнение с отличным от нуля коэффициентом при x ₁ и переобозначить коэффициенты), преобразуем систему следующим образом: первое уравнение оставляем без изменения, а из всех остальных уравнений исключаем неизвестную x ₁ с помощью эквивалентных преобразований описанным выше способом.

В полученной системе

,

считая, что (что всегда можно получить, переставив уравнения или слагаемые внутри уравнений и переобозначив коэффициенты системы), оставляем без изменений первые два уравнения системы, а из остальных уравнений, используя второе уравнения, с помощью элементарных преобразований исключаем неизвестную x ₂. Во вновь полученной системе

при условии оставляем без изменений первые три уравнения, а из всех остальных с помощью третьего уравнения элементарными преобразованиями исключаем неизвестную x ₃.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не реализуется один из трех возможных случаев:

1) если в результате приходим к системе, одно из уравнений которой имеет нулевые коэффициенты при всех неизвестных и отличный от нуля свободный член, то исходная система несовместна;

2) если в результате преобразований получаем систему с матрицей коэффициентов треугольного вида, то система совместна и является определенной;

3) если получается система с трапецеидальной матрицей коэффициентов (и при этом не выполняется условие пункта 1), то система совместна и неопределенна.

Элементы теории матриц

В предыдущем разделе было введено определение матрицы A размерности p ´ q как прямоугольной таблицы:

.

Можно пользоваться сокращенной формой записи:

A = (a_ij); i = 1, 2, 3, ¼, p; j = 1, 2, 3, ¼, q.

Две матрицы одинаковой размерности p ´ q называются равными, если в них одинаковые места заняты равными числами (на пересечении i -й строки и

j- го столбца в одной и в другой матрице стоит одно и то же число; i =1, 2,..., p; j =1, 2,..., q).

Пусть A = (a_ij) – некоторая матрица и a – произвольное число, тогда a A = (aa_ij), то есть при умножении матрицы A на число a все числа, составляющие матрицу A, умножаются на число a.

Пусть A и B – матрицы одинаковой размерности A = (a_ij), B = (b_ij), тогда их сумма A + B – матрица C = (c_ij) той же размерности, опреде­ляемая из формулы c_ij = a_ij + b_ij, то есть при сложении двух матриц попарно складываются одинаково расположенные в них числа.

Матрицу A можно умножить на матрицу B, то есть найти матрицу C = AB, если число столбцов n матрицы A равно числу строк матрицы B, при этом матрица C будет иметь столько строк, сколько строк у матрицы A и столько столбцов, сколько столбцов у матрицы B. Каждый элемент матрицы C определяется формулой

.

Элемент c_ij матрицы-произведения C равен сумме произведений элементов i-