Тема 3.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения

Максимальная учебная нагрузка студента: 6 часов

Обязательная аудиторная нагрузка при заочной форме обучения: 0 час

Самостоятельная работа студента: 6 часов.

Содержание: Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка; линейных дифференциальных уравнений первого порядка; линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами; решение прикладных задач.

Решение простейших дифференциальных уравнений линейных относительно частных производных

Самостоятельная работа студента: Производные от сложных функций. Инвариантность формы полного дифференциала. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.

Теорема о независимости результата дифференцирования от порядка дифференцирования. Интегральное исчисление функций одной переменной.

Первообразная и ее смысл. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Интегрирование по частям и

методом замены переменной. Определенный интеграл, его свойства и методы вычислений. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы.

Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися

переменными, однородные и приводящиеся к однородным, линейные уравнения,

уравнения в полных дифференциалах.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами, линейная независимость их решений, фундаментальная система

решений. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы. Решение нормальной системы методом исключения.

Вопросы для самоконтроля:

Изучив данную тему, студент должен знать:

Правила решения:

· дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными;

· однородных дифференциальных уравнений первого порядка, линейных дифференциальных уравнений первого порядка, линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами;

· простейших дифференциальных уравнений линейных относительно частных производных

Изучив данную тему, студент должен уметь:

Решать задачи приводящие к дифференциальным уравнениям.

Решать:

· дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными;

· однородные дифференциальные уравнения первого порядка;

· линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами;

· линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами;

· системы дифференциальных уравнений.

Тема 3.3 Ряды

Максимальная учебная нагрузка студента: 6 часов

Обязательная аудиторная нагрузка при заочной форме обучения: 1 час

Самостоятельная работа студента: 5 часов

Содержание: Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов.

Признак сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение функций в ряд Маклорена.

Самостоятельная работа студента: Ряды. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Геометрическая прогрессия.

Необходимое условие сходимости ряда. Простейшие действия над рядами. Ряды с

положительными членами. Теоремы сравнения. Признаки сходимости Даламбера, Коши. Определение сходимости рядов по признаку Даламбера. Интегральный признак сходимости ряда. Определение сходимости знакопеременных рядов. Разложение функций в ряд Маклорена. Решение задач на функциональные и степенные ряды. Оценка остатка ряда с помощью интегрального признака.

Знакочередующиеся ряды.Функциональные ряды, область сходимости. Равномерная сходимость.

Вопросы для самоконтроля:

1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Геометрическая прогрессия.

2. Необходимое условие сходимости ряда. Простейшие действия над рядами. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения. Признаки сходимости Даламбера, Коши.

Изучив данную тему, студент должен знать:

· необходимое условие сходимости ряда. Простейшие действия над рядами. Ряды с положительными членами.

· теоремы сравнения. Признаки сходимости Даламбера, Коши. Определение сходимости рядов по признаку Даламбера;

· интегральный признак сходимости ряда. Определение сходимости знакопеременных рядов. Разложение функций в ряд Маклорена.

Изучив данную тему, студент должен уметь:

· определять область сходимости ряда;

· выполнять простейшие действия над рядами;

· исследовать ряды на сходимость, возрастание, убывание, монотонность;

· проводить оценку остатка ряда с помощью интегрального признака

· определять сходимость рядов по признаку Даламбера и интегральному признаку сходимости ряда;

· определять сходимость знакопеременных рядов;

· выполнять разложение функций в ряд Маклорена;

· решать задачи на функциональные и степенные ряды.