Раздел 2. Элементы аналитической геометрии

Тема 2.1. Векторы и операции над ними

Максимальная учебная нагрузка студента: 5 часов

Обязательная аудиторная нагрузка при заочной форме обучения: 0 час

Самостоятельная работа студента: 5 часов

Содержание: Понятие вектора. Правила действий над векторами. Угол между двумя векторами.

Самостоятельная работа студента: Определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейная зависимость векторов. Базис. Разложение по базису.

Декартова система координат на плоскости и в пространстве.

Деление отрезка в данном отношении.

Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя

векторами. Условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов.

Ориентация тройки векторов. Векторное произведение, его свойства.

Векторное произведение в декартовой системе координат.

Смешанное произведение, его свойства. Вычисление смешанного произведения в

декартовой системе координат. Геометрический смысл определителя третьего

порядка. Компланарность трех векторов. Выполнение действий над векторами

Вопросы для самоконтроля:

1. Определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейная зависимость векторов. Базис.

2. Декартова система координат на плоскости и в пространстве.

3. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя

векторами. Условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов.

Компланарность трех векторов.

4. Выполнение действий над векторами.

5. Что называется направленным отрезком и его длиной?

6. Какой вектор равен сумме двух взаимно противоположных векторов с равными модулями?

7. Чему равно скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов? параллельных векторов?

8. Чему равно скалярное произведение ортов координатных осей?

Изучив данную тему, студент должен знать:

· определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейную зависимость векторов. Базис. Разложение по базису;

· скалярное произведение, его свойства. Условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов. Векторное произведение, его свойства;

· векторное произведение в декартовой системе координат. Смешанное произведение, его свойства. Компланарность трех векторов.

Изучив данную тему, студент должен уметь:

· выполнять действия над векторами. Выполнить разложение вектора по базису;

· делить отрезок в заданном отношении.Находить угол между двумя векторами;

· вычислять смешанное произведение в декартовой системе координат;

· выполнение действий над векторами.

Тема 2.2. Прямые и плоскости, их взаимное расположение.

Кривые второго порядка

Максимальная учебная нагрузка студента: 6 часов

Обязательная аудиторная нагрузка при заочной форме обучения: 2 часа

Самостоятельная работа студента: 4 часа

Содержание: Понятие прямой на плоскости. Уравнение прямой. Признаки параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение плоскости. Угол между плоскостями. Кривые второго порядка. Различные способы задания прямой на плоскости

(векторная и координатная формы). Угол между двумя прямыми. Условия

параллельности и перпендикулярности прямых.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

Самостоятельная работа студента: Векторная и координатная формы задания плоскости и прямой в и в пространстве. Канонические уравнения прямой. Условие параллельности, условие перпендикулярности прямой и плоскости. Угловые коэффициенты. Расстояние от точки до прямой.

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Косинус угла между плоскостями. Условие параллельности плоскостей, условие перпендикулярности плоскостей. Прямая в пространстве. Уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Кривые второго порядка на плоскости и их уравнения. Эллипс. Эксцентриситет эллипса. Директрисой эллипса.Свойства эллипса.

Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Свойства гиперболы.

Парабола. Свойства параболы.

Классификация кривых второго порядка.

Вопросы для самоконтроля:

1. Каноническое уравнение эллипса.

2. Выведите формулу для определения расстояния между точками на плоскости.

3. Выведите из общего уравнения прямой уравнение с угловым коэффициентом.

4. Чему равен коэффициент при х в этом уравнении?

5. Сформулируйте условие параллельности и перпендикулярности двух прямых для общего уравнения прямой.

6. Каким свойством обладает прямая у = kх + bпри b= 0?

7. Как находят точку пересечения двух прямых? Сформулируйте условие, при котором две прямые не имеют ни одной общей точки пересечения.

8. Как из общего уравнения плоскости найти точки ее пересечения с координатными осями?

9. Что такое эллипс и гипербола? Напишите их канонические уравнения.

10. Почему эллипс, гипербола и парабола называются кривыми второго порядка?

11. В какую кривую переходит эллипс при a = b? Напишите уравнение этой кривой.

12. Исходя из канонического уравнения, изобразите график параболы. Чем эта парабола отличается от известной параболы из школьного курса?

Изучив данную тему, студент должен знать:

· уравнение прямой. Признаки параллельности и перпендикулярности прямых;

· уравнение плоскости. Угол между плоскостями. Кривые второго порядка;

· различные способы задания прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми;

· условияпараллельности и перпендикулярности прямых.Взаимное расположение прямой и плоскости.

Изучив данную тему, студент должен уметь:

· решать задачи на составление уравнений прямых и плоскостей, их взаимного расположения;

· составлять уравнения прямых и плоскостей в пространстве;

· решать задачи на кривые второго порядка.

РУБЕЖНАЯ АТТЕСТАЦИЯ: выполнение контрольной работы №1 (по вариантам в ПРИЛОЖЕНИИ 2)

Семестр