Работа 2. Исследование равноускоренного движения

Н.В. Чербунина, А.Г. Рипп

Цель работы

Целью работы является изучение прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда.

1.

Рис. 1.1. Машина Атвуда

Груз 2

Блок

Груз 1

Перегрузок

Подставка

Стойка с линейкой

Машина Атвуда

Устройство машины Атвуда показано на рисунке 1.1. На вертикальной стойке закреплён в подшипнике блок, так что он может вращаться вокруг своей оси. На блок повешена нить, к концам которой прикреплены два одинаковых груза (груз 1 и груз 2). На один из грузов можно положить ещё один груз (перегрузок), масса которого значительно меньше массы грузов. На стойке закреплена линейка, позволяющая измерять координаты грузов и пройденный ими путь.

Краткая теория

2.1. Уравнения движения

Без перегрузка система уравновешена. Это значит, что если не толкать грузы или блок, то все части машины Атвуда будут неподвижны. Перегрузок нарушает равновесие, в результате чего грузы начинают двигаться (один – вверх, другой – вниз), а блок начинает вращаться. Характер движения грузов и блока можно выяснить, используя законы динамики. Однако это не входит в задачи данной лабораторной работы. Её задача – выяснить экспериментальным путём, как разгоняется груз, на который кладут перегрузок: равномерно или нет. Иными словами, надо проверить, является ли движение груза равноускоренным или нет.

Рис. 2.1. Система координат

X

x

Груз, на который кладут перегрузок, движется вертикально вниз. Поэтому для количественного описания его движения достаточной системой координат является одна вертикальная ось. Назовём её OX и направим вниз – см. рисунок 2.1. Так как все части груза двигаются совершенно одинаково, то будем считать координатой груза x координату его нижней точки. Значение координаты x показывает линейка.

Характер движения груза полностью описывается функцией . Зная эту функцию, можно определить проекции на ось OX скорости груза и его ускорения для любого момента времени, так как, согласно определению,

. (2.1)

Груз движется и разгоняется в направлении оси OX, поэтому векторыскорости и ускорения направлены по оси OX. Из этого следует, что . Следовательно, формулы (2.1) можно переписать в виде:

. (2.2)

Функция неизвестна, но можно высказать некоторые предположения. Простейшее из них состоит в том, что движение груза – равноускоренное. Это значит, что производная от скорости не зависит от времени, оставаясь во время движения постоянной величиной a. Из этого следует:

, (2.3)

где – начальная скорость груза, то есть . Интегрируя скорость, получим и функцию :

, (2.4)

где – начальная координата груза, то есть .

Будем считать начальным моментом времени тот момент, когда груз после установления на определённой высоте h отпускается (без толчка) и начинает набирать скорость. Тогда и из (2.3) – (2.4) получаются следующие уравнения движения груза:

(2.5)

2.2. Методика проведения экспериментов

Для того чтобы убедиться, правильные уравнения (2.5) или нет, надо провести эксперименты. Проверять оба уравнения не обязательно, так как они следуют друг из друга. Поэтому достаточно проверить только одно из уравнений (2.5), то есть эксперименты можно провести двумя способами: или в разные моменты движения груза измерять его скорость, или в разные моменты измерять его координату. Скорость движения 𝑣 связана с временем движения t более простой зависимостью, чем координата x, а именно, скорость прямо пропорциональна времени, поэтому целесообразно проверять зависимость 𝑣(t).

Для экспериментального исследования зависимости 𝑣(t) надо, прежде всего, решить вопрос о том, как измерять t и 𝑣. С технической точки зрения наиболее просто с помощью секундомера измерять время падения груза на стол с разных высот h. При этом задавать разные значения t можно, изменяя высоту h. Но тогда и скорость груза 𝑣 надо измерять в момент падения груза на стол. Чтобы понять, как можно измерить скорость груза в момент его падения, преобразуем сначала систему уравнений (2.5) так, чтобы в ней вместо координат была высота подъёма h.

(2.6)

Ускорение a неизвестно, но его можно исключить, поделив второе уравнение этой системы на первое. В итоге систему (2.6) можно привести к следующему виду:

(2.7)

Первое из уравнений – то же, что и в системе (2.5), оно определяет прямо пропорциональную зависимость скорости падения 𝑣 от времени падения t, второе уравнение задаёт способ косвенного измерения скорости падения: измерив высоту подъёма h и время падения t, можно по формуле определить скорость падения 𝑣.

Итак, время падения можно измерять прямым способом (секундомером), а скорость падения – косвенным способом. Как теперь убедиться, что скорость падения прямо пропорциональна времени падения? – Наиболее просто это сделать графически. Для этого надо построить график экспериментальной зависимости 𝑣(t). Если действительно скорость 𝑣 прямо пропорциональна времени t, то экспериментальные точки должны выстроиться вдоль прямой линии, проходящей через начало координат. Разумеется, строго на одной прямой линии экспериментальные точки не окажутся из-за влияния неизбежных погрешностей измерения. Поэтому надо оценить эти погрешности, нанести на график планки погрешностей, а потом попытаться провести по линейке прямую линию – так, чтобы она пересекла планки погрешностей всех точек и начало координат. Это и будет означать, что экспериментальные точки выстроились по прямой линии.

Если прямо пропорциональная зависимость скорости падения груза 𝑣 от времени падения t экспериментально подтвердится, то этим подтвердится и предположение о том, что грузы в машине Атвуда двигаются равноускоренно. Кроме того, используя график экспериментальной зависимости 𝑣(t), можно получить дополнительную информацию: измерить ускорение грузов a. Для этого надо взять на экспериментальной прямой линии произвольную точку, определить её координаты , а затем использовать первую формулу в (2.7) и определить значение a. Обратите внимание: произвольная точка – это не одна из экспериментальных точек, а точка, которая строго лежит на экспериментальной прямой линии. В этом случае погрешность измерения ускорения минимальна.

Задание

3.1. Исследовать зависимость скорости падения груза 𝑣 от его времени падения t.

3.2. Если эксперименты подтвердят прямо пропорциональную зависимость 𝑣 от t, то измерить ускорение грузов a.

Порядок выполнения работы

4.1. Получите у лаборанта перегрузок.

4.2. Посмотрите, какое показание линейки, закреплённой на стойке машины Атвуда, находится на уровне подставки. Это показание является координатой x _п точки падения груза на подставку. Запишите значение x _п в таблицу 4.1.

4.3. Положите перегрузок на один из грузов машины Атвуда.

4.4. Поднимите груз с перегрузком на максимальную высоту, измерьте по линейке на стойке начальную координату груза x ₀ и запишите результат в таблицу 4.1.

4.5. Плавно, без толчка отпустите груз, предоставив ему возможность падать на подставку машины Атвуда. Одновременно запустите секундомер.

4.6. В момент падения груза на подставку остановите секундомер и запишите время падения груза t в таблицу 4.1.

4.7. Повторите ещё 6 раз пункты 4.4 – 4.6 при условии, что каждый раз высота подъёма груза, то есть его начальная координата x ₀, меньше, чем в предыдущем опыте, на 4 – 6 см.

Таблица 4.1. Зависимость скорости падения груза 𝑣
от времени падения t

№	x 0	x п	h	t	𝑣	D(𝑣)
cм	см	м	с	м/с	м/с

4.8. Занесите в таблицу 4.1 значения высоты подъёма груза и значения скорости падения груза 𝑣. Скорость падения следует определять по второй из формул (2.7).

4.9. Оцените погрешности измерений. Как это сделать, написано в пункте 5. Заполните последний столбец таблицы 4.1.

4.10. На основании данных таблицы 4.1 постройте график экспериментальной зависимости скорости падения груза 𝑣 от времени его падения t.

· Выделите для графика не менее половины страницы.

· Выберите подходящий масштаб, имея в виду, что по горизонтальной оси (оси абсцисс) надо откладывать значения t, а по вертикальной оси (оси ординат) – значения 𝑣.

· Нанесите на график экспериментальные точки в виде не закрашенных кружочков диаметром примерно 2 мм.

· Нанесите на график планки погрешностей. Для этого от каждой экспериментальной точки отложите влево и вправо отрезок длиной D(t), а затем отложите вверх и вниз отрезок длиной D(𝑣).

· Проведите по линейке экспериментальную прямую – так, чтобы она прошла через начало координат, пересекла планки погрешностей всех экспериментальных точек и при этом прошла наиболее близко ко всем точкам. Образец показан на рисунке 4.1.

4.11.
Выберите на экспериментальной прямой линии произвольную точку, определите её координаты , а затем, используя первую формулу в (2.7), определите значение ускорения груза a. На рисунке 4.1. произвольная точка обозначена буквой A, её координаты: (2,5 с; 0,95 м/с), при этом значение ускорения получается a = 0,38 м/с².

Графики можно строить, используя современные компьютерные программы. Например, график на рисунке 4.1 построен с помощью EXCEL. Программа сама провела по точкам экспериментальную линию (линию тренда) и выдала её уравнение: y = 0,3819 x. Из этого уравнения видно, что a = 0,3819 м/с².

4.12. Оцените погрешность измерения ускорения грузов D(a). Как это сделать, написано в пункте 5.

4.13. Запишите результат измерения ускорения грузов в виде:

4.14. Сформулируйте выводы.