Систематический код – это код, содержащий в себе информационные и контрольные разряды. В контрольные разряды записывается некоторая информация об исходном числе, поэтому систематический код обладает избыточностью.
При этом абсолютная избыточность будет выражаться количеством контрольных разрядов – k, а относительная избыточность – 
, где m – количество информационных разрядов.
Понятие корректирующей способности кода связывают с возможностью обнаружения и исправления ошибки. Количественно корректирующая способность кода определяется вероятностью обнаружения или исправления ошибки. Корректирующая способность кода связана понятием кодового расстояния.
Кодовое расстояние (Хемингово расстояние) d для кодовых комбинаций A и B определяется как вес такой третьей комбинации, которая получается сложением исходных комбинаций по модулю 2. Вес кодовой комбинации V – это количество единиц содержащихся в кодовой комбинации.
Например, A=100111001 и B=011011100. Отсюда веса кодовых комбинаций будут равны: V(A)=5, V(B)=5. Кодовая комбинация C=A+B=111100101, вес этой кодовой комбинации равен V(C)=6. Таким образом, кодовое расстояние для A и B – d(A,B)=V(C)=6.
В любой позиционной системе счисления минимальное кодовое расстояние равно 1. В теории кодирования показано, что систематический код обладает способностью обнаружения ошибки только тогда, когда код расстояния для него больше или равен 2t. Следовательно, 
, где t – кратность обнаруживаемых ошибок.
Это означает, что между соседними кодовыми комбинациями должна существовать, по крайней мере, одна кодовая комбинация.
2. Метод четности / нечетности. Коды Хемминга
Если в математическом коде выделен один контрольный разряд, то к каждому двоичному числу добавляется один избыточный разряд. В этот разряд записывается 1 или 0 с таким условием, чтобы сумма цифр по модулю 2 была равна 0 для случая четности или 1 для случая нечетности. Появление ошибки в кодировании обнаруживается по нарушению четности / нечетности. При таком кодировании допускается, что может возникнуть только одна ошибка.
Таблица 1. Пример реализации метода четности:
| Число | Контрольный разряд | Проверка |
| 1 – ошибка |
Можно представить и несколько видоизмененный способ контроля по методу четности / нечетности. Длинное слово разбивается на группы, каждая из которых содержит n разрядов. Контрольные разряды – k, выделяются всем группам по строкам и столбцам согласно следующей схеме:
Увеличение избыточности приводит к тому, что появляется возможность не только обнаружить ошибку, но и исправить ее.
Тогда проверка показывает, что ошибка возникла в информации третьей строки и четвертого столбца. Следовательно, разряд, содержащий ошибочную информацию, находится на пересечении третьей строки и четвертого столбца. Ошибку можно устранить, изменив 0 на 1.
Код Хэмминга – биочный систематический код, то есть состоящий из информационных и корректирующих символов, расположенных по строго определенной системе, имеющих одинаковую длину и всегда занимающих строго определенные места в кодовых комбинациях.
При передаче кода может быть искажен или не искажен любой символ. Если длина кода – n символов, то 
– полное количество комбинаций кода.
По методике Хэмминга можно определить число информационных символов кода, обнаруживающего и корректирующего одиночную ошибку следующим образом:
, где
– число информационных символов в коде;
– число контрольных символов;
– длина кода Хемминга.
Соотношение n, и для кода Хэмминга можно представить в виде таблицы:
Таблица 2.1.a
| n | ||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||
|
|
Пусть необходимо передать число 1110=10112. Значит 
. Используя таблицу 2.2.a получаем: 
, 
.
Далее необходимо определить на какой позиции должны находиться контрольные коэффициенты. Позиция контрольных коэффициентов – k в коде вычисляется по формуле – 
, где i – порядковый номер коэффициента k. Получаем 7-разрядный код:
Таблица 2.1.c
| Разряды кода Хемминга | |||||||
| k1 | k2 | И4 | k3 | И3 | И2 | И1 | Назначение разрядов |
| Значение разряда |
Где ki – контрольный коэффициент (отсчет идет слева на право); Иi – информационный символ (отсчет идет справа на лево).
Значение контрольных коэффициентов по правилу: если сумма единиц на проверочных позициях четная, то значение контрольного коэффициента равно 0, в противном случае – 1.
Таблица 2.1.d
| Позиция контрольного коэффициента | Проверочные позиции |
| 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13… | |
| 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14… | |
| 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14… | |
| 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14… |
Итак, используя таблицу 2.2.d находим значения контрольных коэффициентов ki:
k1 = 1 + 0 + 1 = 0;
k2 = 1 + 1 + 1 = 1;
k3 = 0 + 1 +1 = 0.
Получим код Хемминга 0110011 для передачи числа 1110.
Теперь рассмотрим пример корректировки полученного кодированного в коде Хемминга числа, в котором есть сбой. Получили число 01100 0 1. Для исправления ошибки необходимо определить позицию, в которой произошел сбой. Для этого определяем значения контрольных коэффициентов, используя таблицу 2.2.d:
k1 = 0 + 1 + 0 + 1 = 0 – нет ошибки;
k2 = 1 + 1 + 0+ 1 = 1 – ошибка;
k3 = 0 + 0 +0 + 1 = 1 – ошибка.
Номер ошибочного разряда совпадает с суммой позиций контрольных коэффициентов, указавших на наличие ошибки т.е. 2 + 4 = 6. Для исправления ошибки достаточно инвертировать значение 6-го разряда.
Задание. Построить код Хемминга для числа А.
A = 30710 = 1001100112
Используя таблицу 2.2.a получаем: 
, 
.
| Разряды кода Хемминга | |||||||||||||
| k1 | k2 | И9 | k3 | И8 | И7 | И6 | k4 | И5 | И4 | И3 | И2 | И1 | Назначение разрядов |
| Значение разряда |
k1 = 1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 = 0;
k2 = 1 + 0 + 1 + 0 + 0 = 0;
k3 = 0 + 0 +1 + 1 + 1 = 1;
k4 = 1 + 0 + 0 + 1 + 1 = 1.
Получим код Хемминга 0011001110011.
При передаче, получили код с ошибкой 0011001110 1 11. Проверяем:
k1 = 0 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1; – ошибка;
k2 = 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 = 1; – ошибка;
k3 = 1 + 0 + 0 +1 + 1 + 1 = 0; – нет ошибки;
k4 = 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 = 1 – ошибка.
Ошибка находится в разряде 1 + 2 + 8 = 11, инвертируем 11-й разряд и получаем исходный код Хемминга.
Контроль по модулю
Контроль выполнения арифметических и логических операций можно осуществлять с помощью контрольных кодов, представляющих собой остатки от деления чисел на некоторый модуль. Такой контроль называют контролем по модулю. Для двоичных чисел этот модуль обычно равен или больше Различают числовой и цифровой контроль по модулю.
При числовом методе код заданного числа определяется как наименьший положительный остаток от деления числа на выбранный модуль. Например, определить контрольный код числа 160 по модулю 6. Для этого делим 160 на 6, получаем остаток – 4.
При цифровом методе контроля, контрольный код числа образуется делением суммы цифр числа на выбранный модуль. Например, определить контрольный код числа 160 по модулю 6. Сумма цифр числа 160 равна 7, делим ее на 6. Получим остаток 1, значит это, контроль числа 160 по модулю 6, при цифровом методе контроля.
Числовой метод контроля
Арифметические операции можно представить в виде последовательности следующих элементарных операций: передача слова, сдвиг, взятие обратного кода, сложение.
Операцию сдвига можно представить как передачу слова из i-го разряда в (i+x) разряд. Поэтому, контроль сдвига можно осуществить по методу четности / нечетности.
Контроль выполнения арифметических операций: сложение, вычитание, умножение можно осуществить методом контроля по модулю. Для этого применяют формулы:
KA = A mod P, KB = B mod P,
KA+B = (A + B) mod P = (KA + KB) mod P,
KA*B = (A * B) mod P = (KA * KB) mod P.
Например, найдем контрольный код чисел A, B и контрольный код арифметических операций над ними, получим:
| A | B | A + B | A – B | A * B | Арифметические операции над числами |
| Значение чисел | |||||
| Контроль по модулю 9 |
Проверка выполненных операций:
|
KA–B = (8 – 3) mod 9 = 5
KA*B = (8 * 3) mod 9 = 6 – нет ошибки.
Задание. Определить контрольные коды чисел A и C по модулю P, а также контрольные коды суммы A + C и разности A – C.
КА = 307 mod 9 = 1;
KC = 91 mod 9 = 1;
KA+C = (307+91) mod 9 = 398 mod 9 = 2; – проверка;
KA+C = (1 + 1) mod 9 = 2 mod 9 = 2; – нет ошибки;
KA–C = (307–91) mod 9 = 216 mod 9 = 0; – проверка;
KA–C = (1 – 1) mod 9 = 0 mod 9 = 0; – нет ошибки.
Цифровой метод контроля
Контроль выполнения арифметических операций: сложение, вычитание, умножение выполняется по тем же формулам, только при цифровом методе контроля, контрольный код числа образуется делением суммы цифр числа на выбранный модуль.
Задание. Определить контрольные коды чисел A и C по модулю P, а также контрольные коды суммы A + C и разности A – C.
КА = (3+0+7) mod 9 = 1;
KC = (9+1) mod 9 = 1;
KA+C = (3+0+7+9+1) mod 9 = 20 mod 9 = 2; – проверка;
KA+C = (1 + 1) mod 9 = 2 mod 9 = 2; – нет ошибки;
KA–C = (3+0+7–9–1) mod 9 = 0 mod 9 = 0; – проверка;
KA–C = (1 – 1) mod 9 = 0 mod 9 = 0; – нет ошибки.
Прямой код – это двоичный код числа, записанный в разрядной сетке, в старшем разряде которого указывается знак числа.
Для положительных чисел прямой код числа совпадает с обратным и дополнительном кодом т.е. [A]пр = [A]обр = [A]доп.
В противном случае, когда число отрицательное:
– обратный код получается из прямого, путем инверсии всех разрядов, за исключением знакового;
– дополнительный код получается путем прибавления единицы к обратному коду т.е. [A]доп = 1 + [A]обр.
Модифицированный обратный (дополнительный) код – аналог обратного (дополнительного) кода, с той лишь разницей, что на знак выделяются два старших разряда.
Задание. Числа А, – А, С и – С представить в прямом, обратном, дополнительном, модифицированном обратном и модифицированном дополнительном кодах.
А = 30710 = 1001100112 С = 9110 = 10110112
[A]пр = [A]об = [A]доп = 0|000000100110011
[A]мод.об = 00|00000100110011
[A]мод.доп = 00|00000100110011
[–A]пр = 1|000000100110011
[–A]об = 1|111111011001100
[–A]мод.об = 11|11111011001100
[–A]доп = 1|111111011001100+1 = 1|111111011001101
[–A]мод.доп = 11|11111011001100+1 = 11|11111011001101
[C]пр = [C]об = [C]доп = 0|000000001011011
[C]мод.об = 00|00000001011011
[C]мод.доп = 00|00000001011011
[–C]пр = 1|000000001011011
[–C]об = 1|111111110100100
[–C]мод.об = 11|11111110100100
[–C]доп = 1|111111110100100+1 = 1|111111110100101
