Рівняння Бернуллі для елементарного струмка ідеальної рідини
Розглянемо сталу течію ідеальної рідини, що знаходиться під дією лише однієї масової сили — сили ваги, і виведемо для цього випадку основне рівняння, що зв'язує між собою тиск у рідини і швидкість її руху.
Візьмемо один з елементарних струмків, що складають потік, і виділимо перетинами 1 і 2 ділянки цього струмка довільної довжини. Нехай площа першого перетину дорівнює dS1 швидкість у ньому 
: тиск p1 а висота розташування центра ваги перетину, відлічена від довільної горизонтальної площини порівняння, z1. В другому перетині відповідно dS2, 
, p2 і z2.
За нескінченно малий відрізок часу dt виділена ділянка струмка переміститься в положення 1'—2',
Застосуємо до маси рідини в обсязі ділянки струмка теорему механіки про те, що робота сил, прикладених до тіла, дорівнює збільшенню кінетичної енергії цього тіла. Такими силами в даному випадку є сили тиску, що діють нормально до поверхні розглянутої ділянки струмка, і сила ваги. Підрахуємо роботу сил тиску, сили ваги і зміну кінетичної енергії ділянки струмка за час dt.
Робота сили тиску в першому перетині позитивна, тому що напрямок сили збігається з напрямком переміщення, і виражається як добуток сили p1dS на шлях u1dt: 
.
Робота сили тиску в другому перетині має знак мінус, тому що напрямок сили прямо протилежний напрямку переміщення, і визначається 
.
Сили тиску, що діють по бічній поверхні відрізка струмка, роботи не роблять, тому що вони нормальні до цієї поверхні, а отже, нормальні і до переміщень.
Отже, робота сил тиску дорівнює
(3.11)
Робота сили ваги дорівнює зміні потенційної енергії положення ділянки струмка, тому треба з енергії положення рідини в обсязі 1 — 2 відняти енергію положення рідини в об’ємі 1' — 2'. При цьому енергія положення проміжного об’єму 1' — 2 скоротиться, і залишиться лише різниця енергій елементів 1 — 1', 2 — 2'. Якщо врахувати рівняння витрати (3.6), то неважко помітити, що об’єми, а отже, і сили ваги заштрихованих елементів 1 — 1' і 2 — 2' рівні між собою:
(3.12)
Тоді робота сили ваги виразиться як добуток різниці висот на силу ваги dG:
(3.13)
Щоб підрахувати збільшення кінетичної енергії розглянутої ділянки струмка за час dt, необхідно з кінетичної енергії об’єму 1' — 2' відняти кінетичнуенергію об’єму 1 — 2. При вирахуванні кінетична енергія проміжного об’єму 1' — 2 скоротиться, і залишиться лише різниця кінетичних енергій елементів 2 — 2' і 1 — 1', сила ваги кожного з який дорівнює dG.
Таким чином, збільшення кінетичної енергії дорівнює
(3.14)
Склавши роботу сил тиску (3.11) з роботою сили ваги (3.13) і дорівнявши цю суму збільшенню кінетичної енергії (3.14), одержимо
(3.15)
Розділимо це рівняння на dG (3.12), і зробивши скорочення, одержимо
(3.16)
Згрупуємо члени, що відносяться до першого перетину, у лівій частині рівняння, а члени, що відносяться до другого перетину, у правій:
, (3.17)
де z — геометрична висота, чи геометричний натиск; p/(rg) — пьезометрична висота, чи пьезометричний натиск; u2/(2g) — швидкісна висота або швидкісний натиск.
Отримане рівняння називається рівнянням Бернуллі для елементарного струмка ідеальної нестискуваної рідини. Воно було виведено Данилом Бернуллі в 1738 р.
Тричлен виду
(3.18)
називається повним натиском.
Рівняння Бернуллі (3.17) записане для двох довільно узятих перетинів струмка і виражає рівність повних натисків Н в цих перетинах. Тому що перетини узяті довільно, отже, і для будь-якого іншого перетину цього ж струмка повний натиск буде мати те ж значення:
(уздовж струмка).
При переході від елементарного струмка ідеальної рідини до потоку реальної (в'язкої) рідини, що має кінцеві розміри й обмеженому стінками, необхідно врахувати нерівномірність розподілу швидкостей по перетину, а також втрати енергії (натиску). Те й інше є наслідком в'язкості рідини.
При русі в'язкої рідини уздовж твердої стінки, наприклад, у трубі, відбувається гальмування потоку унаслідок впливу в'язкості, а також через дію сил молекулярного зчеплення між рідиною і стінкою. Тому найбільшого
значення швидкість досягає в центральній частині потоку, а в міру наближення до стінки вона зменшується практично до нуля.
Рівняння Бернуллі для потоку реальної (в'язкої) рідини
Нерівномірний розподіл швидкостей означає ковзання (зрушення) одних шарів або частин рідини по інших, унаслідок чого виникають дотичні напруження (напруги тертя). Крім того, рух в'язкої рідини часто супроводжується обертанням частинок, вихороутворенням і перемішуванням. Усе це вимагає витрати енергії, тому питома енергія рухливої в'язкої рідини не залишається постійною, як у випадку ідеальної рідини, а поступово витрачається на подолання опорів і, отже, зменшується уздовж потоку.
Перш ніж приступити до розгляду рівняння Бернуллі для потоку в'язкої рідини, зробимо наступне допущення: будемо вважати, що в межах розглянутих поперечних перетинів потоку справедливий основний закон гідростатики, наприклад у формі, тобто гідростатичний натиск у межах перетину є величина, однакова для всіх точок даного перетину z + p/(pg) = const, тобто припускаємо, що при русі рідини окремі струмки роблять одна на іншу в поперечному напрямку такий же тиск, як шари рідини в нерухомому стані. Це відповідає дійсності і може бути доведене теоретично в тому випадку, коли течія у даних поперечних перетину є паралельноструйною. Тому саме такі (чи близькі до них) поперечні перетини і будемо розглядати.
Уведемо поняття потужності потоку. Потужністю потоку в даному перетині будемо називати повну енергію, що проносить потік через цей перетин в одиницю часу. Тому що в різних точках поперечного перетину потоку частинки рідини мають різну енергію, спочатку виразимо елементарну потужність (потужність елементарного струмка) у вигляді добутку повної питомої енергії рідини в даній точці на елементарну масову витрату:
. (3.28)
Потужність усього потоку знайдемо як інтеграл від попереднього рівняння по всій площі S:
, (3.29)
чи, з огляду на зроблене допущення,
. (3.30)
Знайдемо середнє по перетину значення повної питомої енергії рідини діленням повної потужності потоку на масову витрату. Використовуючи рівняння (3.6), одержуємо
(3.31)
Помноживши і розділивши останній член на 
, одержимо (переходячи до натиску)
, (3.32)
де a - безрозмірний коефіцієнт Коріоліса, що враховує нерівномірність розподілу швидкостей і рівний
(3.33)
Якщо помножити чисельник і знаменник рівняння (3.33) на r/2, то неважко переконатися, що коефіцієнт її являє собою відношення дійсної кінетичної енергії потоку в даному перетині до кінетичної енергії того ж потоку у тім же перетині, але при рівномірному розподілі швидкостей.
Для звичайного розподілу швидкостей коефіцієнт a завжди більше одиниці, а при рівномірному розподілі швидкостей дорівнює одиниці.
Візьмемо два перетини реального потоку, перше і друге, і позначимо середні значення повного натиску рідини в цих перетинах відповідно Нср1 і Нср2. Тоді
(3.34)
де 
— сумарна втрата повного натиску на ділянці між розглянутими перетинами.
Використовуючи формулу для Нсер, попереднє рівняння можна переписати так:
(3.35)
Це і є рівняння Бернуллі для потоку в'язкої рідини. Від аналогічного рівняння для елементарного струмка ідеальної рідини отримане рівняння відрізняється членом, що представляє собою втрату повного натиску, і коефіцієнтом, що враховує нерівномірність розподілу швидкостей. Крім того, швидкості, що входять у це рівняння, є середніми по перетинах.
