Элементарные функции. Классификация функций

Основными элементарными функциями называют следующие функции:

1. Степенная функция , n R.

Примеры графиков степенных функций, соответствующих различным показателям степени представлены ниже.

1) , n N. Графики функций, соответствующие показателям степени n =1, а также для n – четного и n – нечетного представлены на рисунке 14.

 

Рис. 14

2) , n N (рис. 15).

Рис. 15.

3) n N, n >1. Графики таких функций (два случая в зависимости от четности n) представлены на рисунке 16.

Рис. 16.

2. Показательная функция .

На рисунке 17 показаны графики показательных функций, соответствующие различным основаниям степени.

 

 

Рис. 17.

 

3. Логарифмическая функция .

Графики логарифмических функций, соответствующие различным основаниям логарифма представлены на рисунке 18.

Рис. 18.

4. Тригонометрические функции: y =sin x, y =cos x, y = t g x, y =c t g x; их графики представлены на рисунках 19-а, 19-б.

 

 

Рис.19-а

 

y = ctg x y = tgx

Рис. 19-б.

 

5. Обратные тригонометрические функции: y= arcsin x, y= arccos x, y= arc tgx, y= arcc tgx. На рисунке 20 изображены графики обратных тригонометрических функций.

 

Рис. 20.

Функция называется элементарной, если она задана аналитически одной формулой у = f (x), составленной из основных элементарных функций при помощи конечного числа арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) и конечного числа операций образования сложной функции.

Примеры элементарных функций:

; ; .

Примерами неэлементарных функций могут служить функции:

у = ; .

Классификация функций.

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

· целая рациональная функция (многочлен или полином):

;

· дробно-рациональная функция – отношение двух полиномов;

· иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

 

Преобразования графиков.

Если известен график функции у = f (x), то с помощью некоторых преобразований (параллельного переноса, осевой и центральной симметрии и т.п.) можно построить графики более сложных функций.

1) График функции у =− f (x) получается из графика у = f (x)путем симметрии относительно оси Ох (рис. 21).

 

 

Рис. 21

 

2) График функции у = f (− x) получается из графика у = f (x)путем симметрии относительно оси Оу (рис. 22).

 

Рис. 22

 

3) График функции y=kf(x) получается из графика у=f(x) путем растяжения в «k» раз вдоль Оу, при k >1, а при 0< k <1 − путем сжатия в «» раз вдоль Оу На рисунке 23 преобразования такого рода рассмотрены на примере растяжения и сжатия синусоиды в 3 и 2 раза соответственно.

4) График функции y = f (kx) получается сжатием графика у=f(x) в «k» раз вдоль Ох, при k >1, а при 0< k <1 – растяжением графика у=f(x) в «» раз вдоль Ох. Данные преобразования продемонстрированы на рисунке 24 на примере преобразований синусоиды.

 

Рис. 23.

 

Рис. 24

5) График функции у = f (x +a) получается из графика у=f(x) параллельным переносом на | а |, при а >0 влево вдоль оси Ох, а при a< 0 − вправо вдоль оси Ох (рис. 25).

Рис. 25

 

6) График функции y = f (x)+a, получается параллельным переносом графика у=f(x) на | а |, при a >0 вверх вдоль оси Оу, а при a <0 − вниз вдоль оси Оу (рис. 26).

 

Рис. 26

 

7) График функции y =| f (x) | получается из графика у=f(x) следующим образом: часть графика у = f (x), лежащая выше оси Ох остается, а лежащая ниже − симметрично отображается вверх относительно оси Ох (На рисунке 27-а изображен график функции у=f(x), а на рисунке 27-б − график функции y =| f (x)|).

 

8) График функции y = f (| x |) получается из графика у=f(x) путем следующих преобразований: часть графика у = f (x), лежащая правее оси Оу остается и симметрично отображается влево относительно оси Оу, остальная часть графика (лежащая левее оси Оу) отбрасывается. На рисунках 28-а и 28-б изображены графики функций у=f(x) и y = f (| x |) соответственно.

 

Рис. 27-а Рис. 27-б

 

 

Рис. 28-а Рис. 28-б