Понятие функции. Способы задания функции

Функция.

Понятие функции. Способы задания функции.

Определение. Функцией у = f (x) называется соответствие, при котором каждому элементу х множества Х (х Î Х) ставится в соответствие один и только один элемент у множества У (у Î У). Говорят еще, что функция f отображает множество Х на множество У:

f: X Y.

 

Например, соответствие f (рис. 6) является функцией, а g (рис. 7) и j (рис. 8)− нет. В первом случае, всякому элементу х Î Х соответствует элемент у Î У. Во втором случае не каждому х Î Х соответствует элемент у Î У, а в третьем не соблюдается условие однозначности.

 

 

 

 

 

 

Множество Х называется областью определения функции (или существования) и обозначается Df. Множество всех у Î У называется областью значений функции, обозначается Еf.

Пусть задана функция f: X Y.

Если элементами множеств Х и У являются действительные числа (т.е. Х Ì R и Y Ì R), то функцию f называют числовой функцией. При этом х называется независимой переменной или аргументом; у – зависимой переменной или значением функции; f − обозначает закон соответствия.

Если множество Х специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной х, т.е. множество таких значений х, при которых функция у = f (х) вообще имеет смысл.

Например, область определения функции у = есть полуинтервал (; 10], т.к. 10− х ³0, если же переменная х обозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии х ³0 областью определения функции будет отрезок [0; 10].

Графиком функции у = f (х) называется совокупность всех точек плоскости Оху, абсциссы которых являются значениями аргумента, а ординаты – соответствующими значениями функции у = f (x).

Способы задания функции.

Чтобы задать функцию у = f (х), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.

Существует несколько способов задания функции:

1) Аналитический способ, при котором функция задается формулой вида у = f (x). Этот способ наиболее часто встречается на практике. Например, у =5 х +7; у = х +7ln х − 2 и т.п.

2) Табличный способсостоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции f (x). Например, таблица логарифмов.

3) Графический способ состоит в том, что зависимость между переменными х и у задается в виде некоторой линии (графика) на плоскости Оху.

Преимущество этого способа задания функции состоит в наглядности, недостаток – неточность.

4) Словесный способ, при котором функция описывается правилом ее составления. При этом область определения Df должна быть ясна из описания.

Например, функция Дирихле: f (x)= .

Одну и ту же функцию можно задать различными способами. Например, тригонометрическую функцию у = sinx часто задают в виде графика (синусоида) и виде таблицы. Аналогично, и в виде графика и в виде таблицы задают логарифмическую функцию y = lgх.

Если дана функция у = f (x), то для обозначения частного значения функции при некотором значении аргумента х = а применяются символы у (а) и f (а).

Пример. Вычислить частное значение функции при х =3, т.е. найти f (3).

Решение

Чтобы найти частное значение функции при данном значении аргумента, надо в аналитическое выражение функции подставить вместо аргумента его частное значение. Имеем: .

Свойства функции.